[論文レビュー] Noncoercive Lyapunov functions for input-to-state stability of infinite-dimensional systems

Birgit Jacob, Andrii Mironchenko+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 44被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、非強凸なラプラシアン関数の存在が、広範な無限次元系のクラスに対してノルムから積分への入力状態安定性（ISS）を示すことを確立している。また、やや弱い正則性条件のもとで、これは完全なISSを示す。著者らは、有界でない入力作用素をもつ線形系、特にディリクレ境界制御をもつ熱方程式に対して、このようなラプラシアン関数の明示的構成を提供しており、これはこの系に対してラプラシアン法を用いた初めての構成である。

ABSTRACT

We consider an abstract class of infinite-dimensional dynamical systems with inputs. For this class, the significance of noncoercive Lyapunov functions is analyzed. It is shown that the existence of such Lyapunov functions implies norm-to-integral input-to-state stability. This property in turn is equivalent to input-to-state stability, if the system satisfies certain mild regularity assumptions. For a particular class of linear systems with unbounded admissible input operators, explicit constructions of noncoercive Lyapunov functions are provided. The theory is applied to a heat equation with Dirichlet boundary conditions.

研究の動機と目的

• 非強凸なラプラシアン関数—無限次元系に一般的に見られるもの—が入力状態安定性（ISS）を示すかどうかを調査すること。
• 有界でない入力作用素をもつ系、特に境界制御系を含む、既存のISSの特徴づけを拡張すること。
• ∞-許容入力作用素をもつ線形系に対して、非強凸なISSラプラシアン関数の明示的構成を提供すること。
• 理論の適用可能性を示すために、ディリクレ境界制御をもつ熱方程式に対してラプラシアン関数を構成すること。

提案手法

• 著者らは、半群に従う系を含む、入力をもつ一般の前進完全な無限次元制御系のクラスを定義している。
• ノルムから積分へのISSという、非強凸ラプラシアン関数と関連する弱い安定性概念を導入している。
• 無限小生成作用素のゼロにおけるリゾルベントを候補作用素 $P$ として用い、ラプラシアン関数 $V(x) = -\langle A^{-1}x, x\rangle_X$ を構成している。
• この $V$ が非強凸ラプラシアン関数であるならば、系はノルムから積分へのISSであることを証明している。
• 系のフローが原点近傍で連続でかつ有限時間到達集合が有界であるというやや弱い正則性仮定のもとで、ノルムから積分へのISSと完全なISSが同値であることを確立している。
• 理論を1次元熱方程式に適用し、ISS推定式を検証し、ラプラシアン関数を明示的に構成している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非強凸ラプラシアン関数は、強凸性が成立しない無限次元系において、入力状態安定性（ISS）を示すことができるか？
• RQ2 ノルムから積分へのISSが完全な入力状態安定性を示すための条件は何か？
• RQ3 有界でない入力作用素をもつ線形系に対して、非強凸ラプラシアン関数をどのように明示的に構成できるか？
• RQ4 このフレームワークを用いて、ディリクレ境界制御をもつ熱方程式に対してISSラプラシアン関数を構成することは可能か？
• RQ5 解析的半群に対して、このようなラプラシアン関数を構成する際、ゼロにおけるリゾルベントの役割は何か？

主な発見

• 広範な無限次元系のクラスに対して、非強凸ラプラシアン関数の存在はノルムから積分へのISSを示す。
• 系のフローが原点近傍で連続でかつ有限時間到達集合が有界である限り、ノルムから積分へのISSは完全なISSと同値である。
• $\infty$-許容入力作用素をもつ線形系に対して、ラプラシアン関数 $V(x) = -\langle A^{-1}x, x\rangle_X$ は非強凸であり、生成作用素 $A$ の適切なスペクトル条件のもとでISSを示す。
• ディリクレ境界制御をもつ1次元熱方程式に対する構成済みラプラシアン関数は、ラプラシアン法を用いた初めての明示的構成である。
• 本稿は、部分正規生成作用素をもつ解析的系に対して、非強凸ISSラプラシアン関数を体系的に構成するフレームワークを提供している。
• 従来の強凸ラプラシアン関数が失敗する系に対しても、本手法は無限次元における安定性解析の代替手段として有効である。