[論文レビュー] Noncommutative field theories from a deformation point of view

Stefan Waldmann|ArXiv.org|Oct 11, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、星積（star product）を用いた変形量子化により、非可換場の理論を形式的変形として古典的多様体の非可換時空間として定式化する。非可換時空間を星積代数を用いた形式的変形として扱い、物質場については変形された射影的モジュールによるグローバルな幾何的枠組みを確立し、ゲージ理論については主バンドルの変形量子化を通じて、関連するベクトルバンドルとゲージ接続が変形された設定でも一貫して導かれる仕組みを示している。

ABSTRACT

In this review we discuss the global geometry of noncommutative field theories from a deformation point of view: The space-times under consideration are deformations of classical space-time manifolds using star products. Then matter fields are encoded in deformation quantizations of vector bundles over the classical space-time. For gauge theories we establish a notion of deformation quantization of a principal fiber bundle and show how the deformation of associated vector bundles can be obtained.

研究の動機と目的

• 変形理論を用いて非可換場の理論のグローバルかつ幾何的定式化を構築すること。
• 星積代数上の射影的モジュールを用いて、変形されたベクトルバンドルへのセール＝スワーンの定理の一般化を達成すること。
• 主縁束の変形量子化を定義し、関連する変形されたベクトルバンドルを構成すること。
• 垂直微分作用素を用いて、変形された設定におけるゲージ場および接続の整合的な概念を確立すること。
• 変形されたゲージ理論と星積代数におけるモリタ同値の関係を明確にすること。

提案手法

• 非可換性をウェイリ・モアル星積によりモデル化する星積を用いた形式的変形量子化により、古典的時空を変形する。
• セール＝スワーンの定理を応用し、物質場を変形された関数代数上の有限生成射影的モジュールとして同定する。
• 主バンドルの滑らかな関数の代数への星積の上昇を用いて、主バンドルの変形量子化を構成する。
• ゲージ不変性を保つために、主バンドルの垂直微分作用素へのG-不変星積を導入する。
• C^\infty(P,V)[[\lambda]] のG-不変切断を用いて、関連するベクトルバンドルを定義し、\star-モジュール構造を保つ。
• 変形された\operatorname{End}(V)値微分作用素代数から、変形されたベクトルバンドルの自己準同型代数への準同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換時空間上での物質場は、どのように変形量子化を用いて一貫して記述できるか？
• RQ2 ゲージ理論に必要な幾何的構造を保つために、適切な主縁束の変形は何か？
• RQ3 関連するベクトルバンドルおよびその切断は、星積量子化の下でどのように変形されるか？
• RQ4 垂直微分作用素を用いて、変形された設定におけるゲージ場および曲率の整合的な概念を定義できるか？
• RQ5 変形されたゲージ理論と星積代数におけるモリタ同値の関係は何か？

主な発見

• 非可換時空間上での物質場は、星積を伴う変形代数 $C^\infty(M)[[\lambda]]$ 上の有限生成射影的モジュールとして自然に記述される。
• ベクトルバンドルの変形は、$C^\infty(P,V)[[\lambda]]$ のG-不変切断を用い、誘導された作用の下で\star-モジュールを形成することで達成される。
• 主バンドルの変形量子化は、垂直微分作用素への星積の上昇を用いて構成され、G-不変性が保たれる。
• 関連するベクトルバンドルの構成は変形と可換であり、変形された切断に一貫した\star-モジュール構造をもたらす。
• 変形された\operatorname{End}(V)値微分作用素代数から、変形されたベクトルバンドルの自己準同型代数への準同型が確立され、モジュール作用との整合性が保たれる。
• この枠組みは、変形されたゲージ理論のモリタ同値への自然な道筋を示唆しており、変形されたゲージ場代数が基礎となる星積代数と関連づけられる。