[論文レビュー] Working with Nonassociative Geometry and Field Theory

Gwendolyn E. Barnes, Alexander Schenkel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、cochain twist deformation quantization を用いて非可換かつ非結合的空間における微分幾何学の体系的形式的枠組みを構築し、Yang-Mills 型およびEinstein-Cartan 重力理論の作用を明示的に構成することを可能にする。非可換スター積、接続、曲率、および整合的な実数条件と 3-循環性を備えた反対称化された外微分積を定義することにより、このような空間上に実数値で物理的に妥当な場の理論を確立する。

ABSTRACT

We review aspects of our formalism for differential geometry on noncommutative and nonassociative spaces which arise from cochain twist deformation quantization of manifolds. We work in the simplest setting of trivial vector bundles and flush out the details of our approach providing explicit expressions for all bimodule operations, and for connections and curvature. As applications, we describe the constructions of physically viable action functionals for Yang-Mills theory and Einstein-Cartan gravity on noncommutative and nonassociative spaces, as first steps towards more elaborate models relevant to non-geometric flux deformations of geometry in closed string theory.

研究の動機と目的

• cochain twist deformation quantization に起因する非可換かつ非結合的空間における微分幾何学の明示的かつ具体的な枠組みを提供すること。
• 物理的に関連する場の理論における非結合的幾何学における双モジュール作用、接続、曲率の明示的構成の欠如に応えること。
• 非結合的時空間上でのYang-Mills 理論およびEinstein-Cartan 重力理論の実数値で物理的に整合性のある作用関数を構築すること。
• 実数条件および 3-循環性が、偶数次元および奇数次元の両方において非結合的Einstein-Cartan 作用が実数値をとることを保証することを示すこと。
• 従来の抽象的な圏論的構成を、弦理論および量子重力の応用に向けたよりアクセス可能で局所的かつ計算可能な形に一般化すること。

提案手法

• 古典的多様体の cochain twist deformation quantization を用いて、twist 要素 $ F $ を通じて非可換かつ非結合的代数を生成し、twist 演算子によって定義されるスター積 $ abla_{\text{twist}} $ を導出する。
• 対角的ホップ代数作用を伴う自明なベクトルバンドル上での明示的双モジュール作用を構築し、非結合的幾何学の局所的記述を可能にする。
• 非可換スター積に基づいて定義される非可換微分計算を用いて、非可換ベクトルバンドル上の接続および曲率を構築し、曲率 $ R^{ab} $ を非可換スター積から導出する。
• 非可換外微分積 $ \bigwedge_{\text{twist}} $ に対して、2 種類の括弧付け規則 $ E_{\text{left}}^{a_1\cdots a_k} $ および $ E_{\text{right}}^{a_1\cdots a_k} $ を導入し、適切な反対称化および実数性を保証する。
• 非可換ゲージ場強度 $ F^{ab} $ を用いてYang-Mills 作用を構築し、曲率 $ R^{ab} $ を用いてEinstein-Cartan 作用を構築する。両作用とも、twist を施した外微分積およびHodge双対を用いる。
• スピン接続 $ \omega^{ab} $ およびビールビン $ E^a $ に実数条件を課し、スター積の 3-循環性を仮定することで、作用関数が実数値をとることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cochain twist deformation quantization に起因する非結合的空間上での微分幾何学をどのように体系的に定式化できるか？
• RQ2 自明なベクトルバンドル上での非結合的幾何学における双モジュール作用、接続、曲率の明示的表現はどのように得られるか？
• RQ3 非結合的時空間上での物理的に妥当なYang-Mills 理論およびEinstein-Cartan 重力理論の作用関数はどのように構築できるか？
• RQ4 非結合的Einstein-Cartan 作用が偶数次元および奇数次元で実数値をとるための条件は何か？
• RQ5 スター積の 3-循環性が、非結合的場の理論の作用の整合性および実数性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、cochain twist deformation quantization に起因する非可換空間上での自明なベクトルバンドル上における双モジュール作用の明示的表現を提供する。
• 非可換ベクトルバンドル上の接続およびその曲率は、twist を施した微分計算を用いて構築され、曲率は非可換スター積に基づいて定義される。
• Yang-Mills 作用は、非可換ゲージ場強度 $ F^{ab} $ を用いて構築され、作用関数はtwist を施した外微分積およびHodge双対を用いて表現される。
• Einstein-Cartan 作用は、偶数次元および奇数次元の両方で、ビールビン $ E^{a_i} $ のための2種類の異なる括弧付け規則を用いて定式化され、適切な反対称化および実数性が保証される。
• Hermite 型のtwist およびスター積の 3-循環性を仮定することで、非結合的Einstein-Cartan 作用が偶数次元および奇数次元の両方で実数値をとることを証明する。
• アーベル的でない場合にも [25] で示されたように、アーベル的でない場合にも 3-循環性が成り立つことが分かっており、この性質により作用の再括弧付けが可能となり、その実数性が方程式 (4.18) から (4.20) および (4.22) で示されたように確認できる。