[論文レビュー] Noncommutative geometry and compactifications of the moduli space of curves

Alastair Hamilton|ArXiv.org|Oct 25, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、2パラメータの微分付きLie代数族を用いて、Kontsevichの曲線のモジュライ空間のコンパクト化のホモロジーの完全な代数的記述を確立する。非可換0形式の空間に、曲線のピンチングから導かれるLie bialgebra構造を導入することで、著者たちはKontsevichの非可換シンプレクティック幾何学を変形し、その変形されたChevalley-Eilenbergホモロジーが正確にコンパクト化されたモジュライ空間のホモロジーを回復することを示している。

ABSTRACT

In this paper we show that the homology of a certain natural compactification of the moduli space, introduced by Kontsevich in his study of Witten's conjectures, can be described completely algebraically as the homology of a certain differential graded Lie algebra. This two-parameter family is constructed by using a Lie cobracket on the space of noncommutative 0-forms, a structure which corresponds to pinching simple closed curves on a Riemann surface, to deform the noncommutative symplectic geometry described by Kontsevich in his subsequent papers.

研究の動機と目的

• Kontsevichの曲線のモジュライ空間のコンパクト化のホモロジーの代数的特徴付けを提供すること。
• 非可換0形式の空間にLie bialgebra構造を導入することで、Kontsevichの非可換シンプレクティック幾何学を拡張すること。
• 元の非可換シンプレクティック枠組みの変形として、2パラメータ族の微分付きLie代数を構成すること。
• この族のChevalley-Eilenbergホモロジーが、コンパクト化されたモジュライ空間のホモロジーを正確に回復することを証明すること。
• 安定リボングラフ複体とコンパクト化されたモジュライ空間のホモロジーとの間の対応関係を、代数的不変量を用いて確立すること。

提案手法

• 非可換0形式の空間にコブラケットを用いて、リーダイアスラブ構造を定義し、リーマン面上の単純閉曲線のピンチングという位相的作用をモデル化する。
• Lie bialgebra構造を用いて、元の非可換シンプレクティックLie代数を変形することで、2パラメータ族の微分付きLie代数を構成する。
• Chevalley-Eilenberg複体を用いて、ℚ上の変形された微分付きLie代数のホモロジーを計算する。
• コンパクト化されたモジュライ空間のホモロジーと、構成された微分付きLie代数族の安定ホモロジーとの間に、自然な同型を確立する。
• 安定リボングラフに関連する明示的なテンソル構成を用いて逆写像を定義し、ホモロジー対応の全単射性を検証する。
• Chevalley-Eilenberg複体の微分が、リボングラフにおける3種類の辺収縮に対応することを確認する。その寄与は、変形された代数上のリーブラケット、0形式上のリーブラケット、および0形式上のコブラケットから生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kontsevichの曲線のモジュライ空間のコンパクト化のホモロジーは、完全に代数的構造によって記述可能か？
• RQ2 非可換0形式のLie bialgebra構造は、コンパクト化における曲線のピンチングという位相的作用をどのように符号化するか？
• RQ3 2パラメータの変形は、Kontsevichの非可換シンプレクティック幾何学を、コンパクト化されたモジュライ空間を含むように一般化する上で果たす役割は何か？
• RQ4 コンパクト化されたモジュライ空間のホモロジーと、変形された微分付きLie代数のChevalley-Eilenbergホモロジーとの間に、自然な同型が存在するか？
• RQ5 安定リボングラフ複体は、変形されたLie代数の不変量から代数的に再構成可能か？

主な発見

• 2パラメータ族の微分付きLie代数のChevalley-Eilenbergホモロジーは、Kontsevichの曲線のモジュライ空間のコンパクト化のホモロジーと同型である。
• 同型は、安定リボングラフに関連するテンソルをホモロジー類へ写像する自然な写像によって実現され、その逆写像はLie代数作用の余不変量を用いて明示的に構成されている。
• Chevalley-Eilenberg複体の微分は、安定リボングラフ複体における3種類の辺収縮（変形された代数上のリーブラケット、0形式上のリーブラケット、0形式上のコブラケットに由来するもの）に正確に対応する。
• コンパクト化されたモジュライ空間のホモロジーと、変形された微分付きLie代数のホモロジーとの間の写像は、ホップ代数の同型写像である。
• この構成により、変形されたLie代数のMaurer-Cartanモジュライ空間における指数関数的構成を用いることで、コンパクト化されたモジュライ空間上のホモロジー類を完全に代数的に生成する方法が得られる。
• 変形パラメータγとνにより、連続的なコンパクト化族が得られ、パラメータを0に設定した場合に、元のモジュライ空間およびそのDeligne-Mumfordコンパクト化が特別な場合として現れる。