[論文レビュー] Noncommutative motives, numerical equivalence, and semi-simplicity

Matilde Marcolli, Gonçalo Tabuada|arXiv (Cornell University)|May 15, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ホッヒシュילדホモロジーを用いて非可換数的モチーフを導入し、それがアーベル的かつ半単純な圏をなすことを証明する。グロタンディークの数的モチーフの圏（Tate-twistを modulo した）を非可換数的モチーフへ完全忠実埋め込みすることを確立し、ウェイユコホモロジーに依存しない非可換な手法によりジャンネンの半単純性定理を再証明する。

ABSTRACT

In this article we further the study of the relationship between pure motives and noncommutative motives. Making use of Hochschild homology, we introduce the category NNum(k)_F of noncommutative numerical motives (over a base ring k and with coefficients in a field F). We prove that NNum(k)_F is abelian semi-simple and that Grothendieck's category Num(k)_Q of numerical motives embeds in NNum(k)_Q after being factored out by the action of the Tate object. As an application we obtain an alternative proof of Jannsen's semi-simplicity result, which uses the noncommutative world instead of a Weil cohomology.

研究の動機と目的

• グロタンディークの数的モチーフの圏の非可換類似を構築すること。
• 非可換数的モチーフの圏がアーベル的かつ半単純であることを証明すること。
• ウェイユコホモロジーに依存せず、非可換幾何学的手法を用いてジャンネンの半単純性結果を再証明すること。
• 古典的数的モチーフとその非可換類似の関係を明確にし、チャウモチーフの埋め込みを模倣する。

提案手法

• 基底環 $k$ と体 $F$ を係数に持つ非可換数的モチーフの圏 $\operatorname{NNum}(k)_F$ を構成し、交点数をホッヒシュILDホモロジーを用いて定義する。
• 2つの対応の交点数を、$\langle\underline{X} \cdot \underline{Y}\rangle := \sum_{i,j} a_i b_j [HH(\mathcal{A}; X_i \otimes^\mathbb{L}_\mathcal{B} Y_j)]$ により $K_0(k)_F$ 内で定義する。
• $\operatorname{Chow}(k)_\mathbb{Q}$ および $\operatorname{NChow}(k)_\mathbb{Q}$ からテート対象 $\mathbb{Q}(1)$ の作用を商取り、軌道圏を構成する。
• 古典的数的モチーフの軌道圏から非可換数的モチーフの圏への完全忠実、$\mathbb{Q}$-線形、加法的、対称モノイダル関手 $R_\mathcal{N}$ を構成する。
• 軌道圏関手の保守的性質を用いて、軌道圏における同型が元の圏における同型に引き上げられることを証明する。
• $\operatorname{NNum}(k)_\mathbb{Q}$ における自己準同型代数の有限次元性を用いて、古典的状況における有限次元性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロタンディークの数的モチーフの圏の非可換類似は存在するか？
• RQ2 非可換数的モチーフの圏はアーベル的かつ半単純か？
• RQ3 ジャンネンの数的モチーフに対する半単純性定理は、ウェイユコホモロジーに依存せず、非可換手法を用いて再証明可能か？
• RQ4 Tate-twistで商取った後、古典的数的モチーフの圏とその非可換類似の関係はいかなるものか？

主な発見

• $\operatorname{NNum}(k)_F$ の非可換数的モチーフの圏は、任意の体 $F$ に対してアーベル的かつ半単純である。
• $\operatorname{Num}(k)_\mathbb{Q}/_{\!\!-\otimes\mathbb{Q}(1)}$ の軌道圏から $\operatorname{NNum}(k)_\mathbb{Q}$ への完全忠実、$\mathbb{Q}$-線形、加法的、対称モノイダル関手 $R_\mathcal{N}$ が存在し、古典的数的モチーフを非可換設定へ埋め込む。
• 2つの対応の交点数はホッヒシュILDホモロジーを用いて定義され、有理点の数え上げの非可換類似を提供する。
• $\operatorname{Num}(k)_\mathbb{Q}$ の任意の対象の自己準同型代数は有限次元であり、これは $\operatorname{NNum}(k)_\mathbb{Q}$ への埋め込みと、そこでの自己準同型代数の有限次元性に起因する。
• ジャンネンの半単純性結果の証明が、ウェイユコホモロジーを一切用いずに、ホッヒシュILDホモロジーと圏論的構成のみを用いて非可換世界で再構築された。
• この構成により、チャウモチーフと数的モチーフの関係の明確な非可換一般化が確立され、Tate-twistが比較において中心的な役割を果たす。