[論文レビュー] Noncommutative numerical motives, Tannakian structures, and motivic Galois groups

Matilde Marcolli, Gonçalo Tabuada|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、周期的循環ホモロジーを対称モノイダル関手として用いることで、非可換数的モチーフに対してタナキアン構造を確立する。非可換グロタンディークの標準予想CおよびDの類似物 $C_{NC}$ と $D_{NC}$ を導入し、これらの予想のもとで、非可換数的モチーフの圏がタナキアンとなり、明確に定義されたモチーフ的ガロア群を有することが示される。これらの群は、デリーニ＝ミルンのテート三重体理論を介して、古典的モチーフ的ガロア群と関係づけられる。

ABSTRACT

In this article we further the study of noncommutative numerical motives. By exploring the change-of-coefficients mechanism, we start by improving some of our previous main results. Then, making use of the notion of Schur-finiteness, we prove that the category NNum(k)_F of noncommutative numerical motives is (neutral) super-Tannakian. As in the commutative world, NNum(k)_F is not Tannakian. In order to solve this problem we promote periodic cyclic homology to a well-defined symmetric monoidal functor HP on the category of noncommutative Chow motives. This allows us to introduce the correct noncommutative analogues C_NC and D_NC of Grothendieck's standard conjectures C and D. Assuming C_NC, we prove that NNum(k)_F can be made into a Tannakian category NNum'(k)_F by modifying its symmetry isomorphism constraints. By further assuming D_NC, we neutralize the Tannakian category NNum'(k)_F using HP. Via the (super-)Tannakian formalism, we then obtain well-defined noncommutative motivic (super-)Galois groups. Finally, making use of Deligne-Milne's theory of Tate triples, we construct explicit homomorphisms relating these new noncommutative motivic (super-)Galois groups with the classical ones.

研究の動機と目的

• 非可換モチーフへのタナキアン形式的体系の拡張を、非可換数的モチーフの圏がタナキアンでないという問題を解決することで行う。
• 非可換数的モチーフの圏が、修正された対称同型を用いてタナキアンにできるようにするため、グロタンディークの標準予想CおよびDの非可換類似物 $C_{NC}$ と $D_{NC}$ を定義する。
• （超）タナキアン形式的体系を用いて非可換モチーフ的（超）ガロア群を構成し、それらを古典的モチーフ的ガロア群と関係づける。
• デリーニ＝ミルンのテート三重体理論を用いて、非可換モチーフ的ガロア群と古典的モチーフ的ガロア群との間の橋渡しを確立する。

提案手法

• 非可換チャウモチーフから次数付き $F$-ベクトル空間へのwell-definedな対称モノイダル関手 $\overline{HP_{\ast}}$ を、周期的循環ホモロジーを用いて構成する。
• 非可換標準予想 $C_{NC}$ と $D_{NC}$ を、$\operatorname{NNum}(k)_{F}$ が修正された対称同型を介してタナキアンにできるようにする条件として定義する。
• 非可換チャウモチーフから次数付き $F$-ベクトル空間へのwell-definedな対称モノイダル関手 $\overline{HP_{\ast}}$ を、周期的循環ホモロジーを用いて構成する。
• 特徴的ゼロの体 $F$ に対して、$\operatorname{NNum}(k)_{F}$ が（ニュートラルな）超タナキアンであることを、シュール有限性を用いて証明する。
• 非可換モチーフ的（超）ガロア群から古典的モチーフ的ガロア群への明示的な準同型を、デリーニ＝ミルンのテート三重体理論を用いて構成する。
• $C_{NC}$ のもとで構成された $\operatorname{NNum}^{\dagger}(k)_{F}$ にタナキアン形式的体系を適用し、$D_{NC}$ のもとで $\overline{HP_{\ast}}$ によってニュートラル化されたタナキアン圏が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴的ゼロの体 $F$ に対して、圏 $\operatorname{NNum}(k)_{F}$ は（ニュートラルな）超タナキアンか？
• RQ2 グロタンディークの標準予想 $C$ の非可換類似物 $C_{NC}$ は存在するか？ また、それが修正された対称同型を介して $\operatorname{NNum}(k)_{F}$ をタナキアンにできるか？
• RQ3 標準予想 $D$ の非可換類似物 $D_{NC}$ は存在するか？ また、それがタナキアン圏 $\operatorname{NNum}^{\dagger}(k)_{F}$ をニュートラル化するか？
• RQ4 非可換モチーフ的（超）ガロア群は、古典的モチーフ的ガロア群とどのように関係しているか？

主な発見

• 体 $F$ が特徴的ゼロで、$k$ と $F$ が定理4.6の条件を満たすとき、圏 $\operatorname{NNum}(k)_{F}$ は（ニュートラルな）超タナキアンである。
• $C_{NC}$ のもとで、非可換モチーフの圏 $\operatorname{NNum}(k)_{F}$ は、対称同型の制約を修正することで、タナキアン圏 $\operatorname{NNum}^{\dagger}(k)_{F}$ にアップグレードできる。
• $D_{NC}$ を仮定すると、タナキアン圏 $\operatorname{NNum}^{\dagger}(k)_{F}$ は周期的循環ホモロジー関手 $\overline{HP_{\ast}}$ によってニュートラル化され、その結果、プロ代数的群の表現の圏と同倣する。
• 非可換モチーフ的ガロア群 $\mathrm{Gal}(\operatorname{NNum}^{\dagger}(k)_{F})$ はタナキアン形式的体系を用いて構成され、$\overline{HP_{\ast}}$-表現のタナキアン群と同型であることが示される。
• デリーニ＝ミルンのテート三重体理論を用いて、非可換モチーフ的（超）ガロア群から古典的モチーフ的ガロア群への明示的な準同型が構成される。
• 本研究の結果は、非可換モチーフ的ガロア群と古典的モチーフ的ガロア群との間の明確な関係を確立し、古典的タナキアン形式的体系を非可換設定へと拡張する。