[論文レビュー] Noncommutative residue for Heisenberg manifolds. Applications in CR and contact geometry

Raphaël Ponge|ArXiv.org|Jul 12, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 45被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト多様体上のヒーゼンベルク擬微分作用素（ΨH DO）に対して、非可換な残留トレースを構成する。これは作用素トレースを非整数位の作用素へ解析接続することで得られ、シュワーツ核の対数的特異性密度の積分と同一視される。主な結果として、この残留トレースは整数位のΨH DOの代数上、スカラー倍を除き一意なトレースであることが示され、CR幾何学および接触幾何学への応用が可能になる。これにはスペクトル不変量や幾何的体積の定義が含まれる。

ABSTRACT

This paper has four main parts. In the first part, we construct a noncommutative residue for the hypoelliptic calculus on Heisenberg manifolds, that is, for the class of Heisenberg PsiDOs introduced by Beals-Greiner and Taylor. This noncommutative residue appears as the residual trace on integer order Heisenberg PsiDOs induced by the analytic extension of the usual trace to non-integer order Heisenberg PsiDOs. Moreover, it agrees with the integral of the density defined by the logarithmic singularity of the Schwartz kernel of the corresponding Heisenberg PsiDO. In addition, we show that this noncommutative residue provides us with the unique trace up to constant multiple on the algebra of integer order Heisenberg PsiDOs. In the second part, we give some analytic applications of this construction concerning zeta functions of hypoelliptic operators, logarithmic metric estimates for Green kernels of hypoelliptic operators, and the extension of the Dixmier trace to the whole algebra of integer order Heisenberg PsiDOs. In the third part, we present examples of computations of noncommutative residues of some powers of the horizontal sublaplacian and the contact Laplacian on contact manifolds. In the fourth part, we present two applications in CR geometry. First, we give some examples of geometric computations of noncommutative residues of some powers of the horizontal sublaplacian and of the Kohn Laplacian. Second, we make use of the framework of noncommutative geometry and of our noncommutative residue to define lower dimensional volumes in pseudohermitian geometry, e.g., we can give sense to the area of any 3-dimensional CR manifold. On the way we obtain a spectral interpretation of the Einstein-Hilbert action in pseudohermitian geometry.

研究の動機と目的

• ヒルベルト多様体上の超局所的計算における非可換残留トレースを定義し、楕円的でない状況へのウォドジッチの残留トレースの一般化を行う。
• 整数位のΨH DOの代数上、このトレースがスカラー倍を除き一意であることを確立する。
• 残留トレースを、超局所的作用素のゼータ関数、グリーン核の推定、ディクシエールトレースの拡張に応用する。
• 接触多様体上での水平部分ラプラシアンおよび接触ラプラシアンのべきに対する非可換残留トレースを計算する。
• 擬ヘルミート幾何学における低次元体積を定義し、アインシュタイン＝ヒルベルト作用素のスペクトル的解釈を与える。

提案手法

• 非整数位のΨH DOに対して作用素トレースを解析接続することで非可換残留トレースを構成する。
• ΨH DOのシュワーツ核の対数的特異性から生じる密度の積分と残留トレースを同一視する。
• ヒルベルト微分同相写像の下での対数的特異性密度の関手的性質を用いて、グローバル不変性を保証する。
• シュワーツ核の特徴付けと交換子構造を用いて、整数位のΨH DO上でのトレースの一意性を証明する。
• 残留トレースを、超局所的作用素のゼータ関数に応用し、残留トレースと熱核漸近展開との関係を結ぶ。
• 局所的インデックス公式を導出し、非可換残留トレースの観点からウェイルの漸近展開を再解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト多様体上の超局所的計算に対して、楕円的作用素のウォドジッチの残留トレースに類似した非可換残留トレースを定義できるか。
• RQ2 この非可換残留トレースは、整数位のΨH DOの代数上、スカラー倍を除き一意なトレースか。
• RQ3 非可換残留トレースを用いて、擬ヘルミート幾何学における低次元体積といった幾何的不変量を定義できるか。
• RQ4 CR幾何学の文脈において、アインシュタイン＝ヒルベルト作用素のスペクトル的解釈は何か。
• RQ5 残留トレースを用いて、超局所的作用素の局所的インデックス公式およびウェイルの漸近展開を導出できるか。

主な発見

• ΨH DOの非可換残留トレースは、整数位の作用素上、スカラー倍を除き一意なトレースとして特徴づけられ、ウォドジッチの結果を超局所的状況へ一般化する。
• 残留トレースは、シュワーツ核の対数的特異性密度の負の積分として生じる。この密度はグローバルに定義され、ヒルベルト微分同相写像に対して不変である。
• 接触多様体上での水平部分ラプラシアンおよび接触ラプラシアンに対して、そのべきの非可換残留トレースの明示的計算が提供される。
• 残留トレースにより、擬ヘルミート幾何学における低次元体積（例えば3次元CR多様体の面積）の定義が可能になる。
• 超局所的ΨH DOのゼータ関数は、メロモルフィックであり、その留数は非可換残留トレースとして表現可能で、スペクトルデータと幾何的不変量を結びつける。
• 非可換残留トレースは、擬ヘルミート幾何学におけるアインシュタイン＝ヒルベルト作用素のスペクトル的解釈を提供し、非可換幾何学におけるその役割を拡張する。