[論文レビュー] Noncommutative version of an arbitrary nondegenerated mechanics

Alexei A. Deriglazov|ArXiv.org|Aug 10, 2002

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非退化な力学系の任意の非可換版を構成する一般的手順を提案する。この手法は、定数の反対称行列 $\theta^{AB}$ を含む項を第一順序ラグランジアンに修正することで実現される。得られる系は、元の系と同一の物理的自由度数を保ち、$\theta$-依存の補正項を除いて元の運動方程式を再現する。さらに、非可換なポincare bracket $\{q^A, q^B\} = -2\theta^{AB}$ を誘導し、量子化によってMoyal積を用いた量子力学が得られる。

ABSTRACT

A procedure to obtain noncommutative version for any nondegenerated dynamical system is proposed and discussed. The procedure is as follow. Let $S=\int dt L(q^A, ~ \dot q^A)$ is action of some nondegenerated system, and $L_1(q^A, ~ \dot q^A, ~ v_A)$ is the corresponding first order Lagrangian. Then the corresponding noncommutative version is $S_N=\int dt[ L_1(q^A, ~ \dot q^A, \~ v_A)+ \dot v_Aθ^{AB}v_B]$. Namely, the system $S_N$ has the following properties: 1) It has the same number of physical degrees of freedom as the initial system $S$. 2) Equations of motion of the system are the same as for the initial system $S$, modulo the term which is proportional to the parameter $θ^{AB}$. 3) Configuration space variables have the noncommutative brackets: $\{q^A, ~ q^B\}=-2θ^{AB}$. It is pointed also that quantization of the system $S_N$ leads to quantum mechanics with ordinary product replaced by the Moyal product.

研究の動機と目的

• 任意の非退化な力学系の非可換版を構築する普遍的な手法を開発すること。
• 得られる非可換系が元の系と同一の物理的自由度数を保持することを保証すること。
• 元の系の運動方程式に $\theta^{AB}$ 比例の補正項を加えた形で還元される運動方程式を導出すること。
• 非可換形式において、座標空間変数 $q^A$ が非自明なポincare bracket $\{q^A, q^B\} = -2\theta^{AB}$ を獲得することを確立すること。
• 非可換系の量子化が、非可換場理論に類似したMoyal積を用いた量子力学に帰着することを示すこと。

提案手法

• 標準ラグランジアン $S = \int dt\, L(q^A, \dot{q}^A)$ で記述される非退化な力学系から出発する。
• 便宜変数 $v_A$ を導入することで、第一順序ラグランジアン $S_1 = \int dt\, \left[v_A \dot{q}^A - H_0(q^A, v_A)\right]$ に再定式化する。
• 定数の反対称行列 $\theta^{AB}$ を用いた拡張作用 $S_N = \int dt\, \left[v_A \dot{q}^A - H_0(q^A, v_A) + \dot{v}_A \theta^{AB} v_B\right]$ を通じて非可換版を構成する。
• 作用 $S_N$ のハミルトニアン形式を導出し、一次的制約 $G_A = p_A - v_A = 0$ および $T^A = \pi^A - \theta^{AB}v_B = 0$ を特定する。
• 第二類制約を扱うためにディラック括弧を計算し、物理変数に対して非可換なポincare bracket $\{q^A, q^B\} = -2\theta^{AB}$ を得る。
• 変数 $q^A$ と $p_A$ の運動方程式が、$\theta^{AB}$ 比例の項を除き元の系と同一であり、量子化によって標準的ブラケットを持つ変数への正準変換を通じてMoyal積が実現されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非退化な力学系に対して、元のラグランジアンの具体的な形に依存しない、非可換版を体系的に構成できるか？
• RQ2 提案された非可換形式が、元の系と同一の物理的自由度数を保持するか？
• RQ3 非可換系における運動方程式は、元の系の運動方程式とどのように関係するか？また、$\theta^{AB}$ パrameterはそれらをどのように修正するか？
• RQ4 非可換形式における座標空間変数 $q^A$ の基本的ポincare bracket は何か？また、それらはディラック括弧構造からどのように導かれるか？
• RQ5 非可換系の量子化は、Moyal積を用いた量子力学の実現をもたらすか？その実現方法は、変数の変換によってどのように達成されるか？

主な発見

• 作用 $S_N$ で定義される非可換系は、元の非退化系と同一の物理的自由度数を保持する。
• 非可換系における $q^A$ と $p_A$ の運動方程式は、元の系と同一であるが、$\theta^{AB}$ 比例の追加項 $\dot{q}^A = \frac{\partial H_0}{\partial p_A} - 2\theta^{AB}\frac{\partial H_0}{\partial q^B}$ を含む。
• 座標空間変数 $q^A$ は非自明なポincare bracket $\{q^A, q^B\} = -2\theta^{AB}$ を獲得する。これは第二類制約に適用したディラック括弧形式から導出される。
• 系の力学は、$\tilde{q}^A = q^A - \theta^{AB}p_B$ および $\tilde{p}_A = p_A$ で定義される変数を用いて再定式化可能であり、これらは標準的ブラケット $\{\tilde{q}^A, \tilde{p}_B\} = \delta^A_B$ を満たすため、標準的な量子化手続きが適用可能である。
• 系の量子化は、ハミルトニアンが $H_0(\tilde{q}^A + \theta^{AB}\tilde{p}_B, \tilde{p}_B) * \Psi(\tilde{q}^C)$ と表されるMoyal積を用いた量子力学に帰着する。ここで $*$ はMoyalスター積を表す。
• この手法は非退化系に限らず、非可換相対論的粒子への応用例から示唆されるように、退化系に対しても拡張可能であり、広範な物理的意義を有する。