[論文レビュー] Nondegenerate Representations of Continuous Product Systems

Michael Skeide|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、C*-代数上の連続的で忠実な積系が、ヒルベルトモジュール上に連続的で忠実かつ非退化な表現をもつことを確立する。主な貢献は、積系の右拡大を用いた構成的証明であり、アーヴェソンのヒルベルト空間における結果をより一般的なヒルベルトモジュールの設定に拡張し、(半-)忠実なCP-半群に対する基本的拡大の存在を示すために応用している。

ABSTRACT

We show that every (continuous) faithful product system admits a (continuous) faithful nondegenerate representation. For Hilbert spaces this is equivalent to Arveson's result that every Arveson system comes from an E_0-semigroup. We point out that for Hilbert modules this is not so. As applications we show a C*-algebra version of a result for von Neumann algebras due to Arveson and Kishimoto, and a result about existence of elementary dilations for (semi-)faithful CP-semigroups.

研究の動機と目的

• C*-代数上のヒルベルトモジュールの設定に、アーヴェソン系（すなわち、フォン・ノイマン代数上の連続的積系）の表現に関するアーヴェソンの結果を拡張すること。
• 連続的で忠実かつ非退化な表現が、連続的で忠実なヒルベルトC*-モジュールの積系に対して存在することを確立すること。
• 表現結果を応用して、単位元をもつC*-代数上の(半-)忠実なCP-半群に対して、基本的拡大の存在を示すこと。
• 積系、右拡大、表現の間の関係を、特に連続的切断と強い連続性の文脈で明確にすること。

提案手法

• 連続的で忠実な積系を、ヒルベルトモジュール H に右拡大するための、双線形ユニタリ写像 w_t: E_t ⊙ H → H の族を構成する。
• 右拡大を用いて、η^w_t: E_t → B(H) として表現 η^w_t(x_t)h = w_t(x_t ⊙ h) を定義し、非退化性と忠実性を保証する。
• 定理2.9（連続的で忠実な積系に対して連続的右拡大が存在すること）を適用し、積系が強く連続であれば、得られる表現も強く連続であることを保証する。
• CP-半群と単位をもつ積系との間の対応（Bhat-Skeide構成による）を活用し、表現結果を拡大理論に結びつける。
• 表現 η^w を用いて、単位 ξ^• に対して、c_t = η^w_t(ξ_t) として半群を定義し、CP-半群 T_t(b) = ⟨ξ_t, bξ_t⟩ の基本的拡大を構成する。
• Ske09c における連続的左拡大に関する結果を応用して、σ-単位元をもつC*-代数およびBのコピーを含む一般のヒルベルトモジュールへと枠組みを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位元をもつC*-代数上の連続的で忠実なヒルベルトC*-モジュールの積系は、すべて連続的で忠実かつ非退化な表現をもつか？
• RQ2 このような表現の存在が、(半-)忠実なCP-半群に対する基本的拡大の構成に利用できるか？
• RQ3 ヒルベルトモジュールの設定における積系の表現理論は、アーヴェソン系（ヒルベルト空間）の場合とどのように異なるか？
• RQ4 連続的積系がヒルベルトモジュールへの連続的右拡大をもつための条件は何か？

主な発見

• 任意の単位元をもつC*-代数上の連続的で忠実な積系は、ヒルベルトモジュール上に連続的で忠実かつ非退化な表現をもつ。
• このような表現の存在は、積系がヒルベルトモジュールへの連続的右拡大をもつことと同値である。
• 任意の(半-)忠実で強く連続なCP-半群は、あるヒルベルト空間 H に対して B(H) への連続的で基本的な拡大をもつ。
• 表現の構成は、連続的右拡大の存在に依存しており、積系が連続的でかつ代数がσ-単位元をもつ、またはモジュールが可算生成である場合には、それが保証される。
• この結果は、アーヴェソンのE_0-半群に関する定理をヒルベルトモジュールの設定に一般化し、この文脈における積系の表現理論がより豊かであることを示している。
• ユニタリ拡大による証明技法と、CP-半群から積系を構成するBhat-Skeide構成を組み合わせることで、非可換力学系における拡大理論の統一的枠組みが得られる。