[論文レビュー] Nonholonomic Deformations of Disk Solutions and Algebroid Symmetries in Einstein and Extra Dimension Gravity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Apr 20, 2005

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ディスク型計量への非ホロノミックな変形を適用することにより、4次元および5次元のアインシュタイン重力および余剰次元重力における正確な解を生成する幾何学的手法を導入する。その結果、リー代数的対称性、局所的異方性、非対角的重力偏極を有する時空が得られる。主な貢献は、非対角項によって誘導される非自明な曲率および有効 torsion を有する真空解の構成であり、特定の制約下でリッチテンソルが保存されることにより、ソリトン的、ワーブド的、非可換的対称性を有する新たな解のクラスが可能になることである。

ABSTRACT

In this article we consider nonholonomic deformations of disk solutions in general relativity to generic off-diagonal metrics defining knew classes of exact solutions in 4D and 5D gravity. These solutions possess Lie algebroid symmetries and local anisotropy and define certain generalizations of manifolds with Killing and/ or Lie algebra symmetries. For Lie algebroids, there are structures functions depending on variables on a base submanifold and it is possible to work with singular structures defined by the 'anchor' map. This results in a number of new physical implications comparing with the usual manifolds possessing Lie algebra symmetries defined by structure constants. The spacetimes investigated here have two physically distinct properties: First, they can give rise to disk type configurations with angular/ time/ extra dimension gravitational polarizations and running constants. Second, they define static, stationary or moving disks in nontrivial solitonic backgrounds, with possible warped factors, additional spinor and/or noncommutative symmetries. Such metrics may have nontrivial limits to 4D gravity with vanishing, or nonzero torsion. The work develops the results of Ref. gr-qc/0005025 and emphasizes the solutions with Lie algebroid symmetries following similar constructions for solutions with noncommutative symmetries gr-qc/0307103.

研究の動機と目的

• 非ホロノミック構造および一般化された対称性を有する4次元および5次元重力における正確な解を生成する幾何学的手法の開発。
• 標準的なキリング対称性およびリー代数的対称性を一般化する、非対角的時空におけるリー代数的対称性の役割の解明。
• 回転、時間、余剰次元の重力偏極を有する新たな正確な解のクラスの構築、ソリトン的およびワーブド的背景を含む。
• 非ホロノミック変形下でもリッチテンソルが不変である条件の分析、非自明な曲率および torsion 成分が存在する中で。
• 正確な解を通じて、余剰次元重力、torsion、非可換場の理論における物理的意味の探求、非自明な非可換フレームを有する解を用いて。

提案手法

• 非ホロノミックな変形を用いて既知のディスク解を変形し、N接続および非線形接続構造を有する異方的非対角的計量の仮定を適用する。
• アーモロノミックフレーム法を用いてアダプトされた d 接続および d torsion を用いた非線形偏微分方程式系にアインシュタイン方程式を還元する。
• 適切な公式を用いて、N 接続係数、曲率成分、構造関数を含む、標準的 d 接続およびリッチ d テンソルを計算する。
• リッチ d テンソルがリーマン・レヴィチビタのリッチテンソルと一致する制約のもとで解を導出する。
• リッチテンソルが変化しないまま、非自明な非対角項が有効 torsion および曲率歪みを誘導するが、真空条件を保つことが可能になる。
• ストリング的 H フィールドおよびソリトン的背景を有する5次元重力へ一般化可能であり、余剰次元の異方性およびスピンオルカップリングを有する解を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ホロノミック変形は、リー代数的対称性を有する4次元および5次元重力における新たな正確な解をどのように生成するか？
• RQ2 真空計量の非ホロノミック変形下でリッチテンソルが不変である条件は何か？
• RQ3 非対角項はどのようにして有効 torsion および曲率歪みを誘導するが、リッチテンソルを保存するのか？
• RQ4 リー代数的対称性は、異方的、ソリトン的、ワーブド的時空においてどのような物理的構成を生じさせるか？
• RQ5 このような解は、一般相対性理論における標準的ディスク解をどのように一般化し、余剰次元および非可換重力と関係するか？

主な発見

• N 接続係数の特定の制約のおかげで、曲率および torsion 成分が異なる場合でも、標準的 d 接続のリッチテンソルがリーマン・レヴィチビタ接続のリッチテンソルと一致する解が存在する。
• 方程式 (164) および (165) は、N 接続成分 $ w_k $ および $ n_k $ に対して非自明な解を有し、非対角的構造を有する正確な真空解の構成を可能にする。
• 非ホロノミック制約は、リッチテンソルの歪みがゼロであっても、非自明な d 曲率成分 $ \widehat{R}_{\ bjk}^{a} $ を保持することができ、非自明な幾何学的構造を示す。
• 有効 torsion 成分は、構造関数 $ \Omega_{.jk}^a = 0 $ であっても、$ \partial N_k^a / \partial y^b \neq 0 $ により生じるが、非可換フレーム効果のおかげである。
• $ h_5^* = 0 $ または $ n_k^* = 0 $ を満たす解は、リッチ不変性条件を満たし、ソリトン的またはワーブド的背景における静的または運動するディスク配置を可能にする。
• この手法により、回転、時間、余剰次元の異方性を有する正確な解が生成され、非可換およびスピンオル対称性を有する構成が可能になり、標準的真空ディスク解が一般化される。