[論文レビュー] Nonholonomic Ricci Flows: III. Curve Flows and Solitonic Hierarchies

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Apr 16, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非ホロノミックな接続構造を備えた(半)リーマン多様体における曲線の流れを通じて、非ホロノミックなリッチフローとソリトン階層を結びつける幾何的枠組みを確立する。接続バンドルへの幾何的対象の上昇と、好都合な非ホロノミックフレームの使用により、リッチフローの進化と重力における正確な解が、双ハミルトニアン系およびmKdV型ソリトン方程式に符号化されることを示している。主な結果は、ソリトン階層に関してリーマン・チビタ接続と標準的d接続の定式化が等価であるということである。

ABSTRACT

The geometric constructions are elaborated on (semi) Riemannian manifolds and vector bundles provided with nonintegrable distributions defining nonlinear connection structures induced canonically by metric tensors. Such spaces are called nonholonomic manifolds and described by two equivalent linear connections also induced in unique forms by a metric tensor (the Levi Civita and the canonical distinguished connection, d-connection). The lifts of geometric objects on tangent bundles are performed for certain classes of d-connections and frame transforms when the Riemann tensor is parametrized by constant matrix coefficients. For such configurations, the flows of non-stretching curves and corresponding bi-Hamilton and solitonic hierarchies encode information about Ricci flow evolution, Einstein spaces and exact solutions in gravity and geometric mechanics. The applied methods were elaborated formally in Finsler geometry and allows us to develop the formalism for generalized Riemann-Finsler and Lagrange spaces. Nevertheless, all geometric constructions can be equivalently re-defined for the Levi Civita connections and holonomic frames on (semi) Riemannian manifolds.

研究の動機と目的

• 非ホロノミック多様体上でのリッチフローの進化と重力における正確な解を、ソリトン階層に符号化する幾何的形式主義を構築すること。
• 非ストレッチングの曲線の流れが、非線形接続構造を有する(半)リーマン空間で自然にmKdVなどのソリトン方程式を生じることを示すこと。
• リーマン幾何学における標準的リーマン・チビタ接続と、標準的d接続を用いた幾何的構成の間の等価性を確立すること。
• 非ホロノミック構造と双ハミルトニアン階層を通じて、重力的および幾何力学的系の記述を統一すること。
• 非ホロノミック制約と好都合なフレームを導入することにより、Finslerおよびラグランジュ幾何の技法を標準的リーマン空間へ拡張すること。

提案手法

• 一般の非対角成分を有する計量から誘導される非線形接続（N接続）構造を有する非ホロノミック多様体を用いる。
• 定数行列曲率係数を有するリーマンテンソルを得るためのフレーム変換を適用し、ソリトン階層の生成を可能にする。
• 計量に整合する標準的区別（d-）接続を用いて、幾何的対象を接続バンドルTVまたはベクトルバンドルEに上昇させる。
• 非ホロノミックフレームの幾何から双ハミルトニアン構造を導出し、それらを可積分系および再帰作用素と結びつける。
• リー代数（例：so(n+1)）における随伴表現を用いて、曲率および共変微分を用いて高次ソリトン方程式を表現する。
• h-およびv-成分のd接続を用いてソリトン階層を再構成し、非ストレッチング曲線の流れの進化から方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ホロノミックな曲線の流れを通じて、(半)リーマン多様体上のリッチフローの進化が、ソリトン階層に符号化可能か？
• RQ2 定数行列曲率係数を有する非ホロノミックフレームが、双ハミルトニアン構造および可積分系をもたらす条件は何か？
• RQ3 mKdVやサインゴルドン方程式などのソリトン方程式は、非ホロノミックリーマン空間における曲線の幾何的流れとどのように関係するか？
• RQ4 ソリトン階層の文脈において、標準的d接続とリーマン・チビタ接続の幾何的構成の間の等価性は何か？
• RQ5 非ホロノミックリッチフローおよび関連する曲線力学から、重力および幾何力学における正確な解を体系的に導出する方法は何か？

主な発見

• 非ホロノミックなリッチフローは、(半)リーマン多様体上で、接続バンドルにおける非ストレッチング曲線の流れを通じてソリトン階層を生成する。mKdV方程式は、標準的d接続のh成分から生じる。
• ソリトン階層は、最初の式が曲率依存の非線形項を有する修正KdV型の流れに対応する双ハミルトニアン構造に符号化されている。
• 方程式 \( -\frac{\text{d}}{\text{d}\tau}}(h\tilde{\rho}) = \nabla_{hX}^2(h\tilde{\rho}) - \frac{3}{2}|\nabla_{hX}(h\tilde{\rho})|_{h\tilde{g}}^2 (h\tilde{\rho}) \) は、曲線の流れのh成分に対するコアとなるmKdV型方程式として導出された。
• v成分の流れは、h作用素をv作用素に置き換えることで同様の階層を生じさせ、ソリトン構造を保存する。
• -1番目の流れは、非ホロノミック制約下で線形の対流波動方程式に対応し、\( h\tilde{\rho}_\tau = 0 \) は直交方向における曲率の進化がゼロであることを示唆する。
• 標準的d接続とリーマン・チビタ接続の定式化の等価性が証明され、ソリトン階層および保存則が標準的リーマン幾何学でも同値に定義可能であることが示された。