[論文レビュー] Nonlocal Hormander's hypoellipticity theorem

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$α$-安定レヴィ過程によって駆動される積分微分作用素の非局所版であるホルマンダーの超微分可能性定理を確立する。マリヤン・計算を用いて、局所的ホルマンダー条件の下で熱核の存在および$L^1$連続性を証明し、さらに跳躍係数が定数である場合に一様ホルマンダー条件の下で空間的・時間的滑らかさを確立する。

ABSTRACT

Consider the following nonlocal integro-differential operator: for $α\in(0,2)$, $$ \cal L^{(α)}_{σ,b} f(x):=\mbox{p.v.} \int_{\mathbb{R}^d-\{0\}}\frac{f(x+σ(x)z)-f(x)}{|z|^{d+α}}d z+b(x)\cdot abla f(x), $$ where $σ:\mathbb{R}^d o\mathbb{R}^d imes\mathbb{R}^d$ and $b:\mathbb{R}^d o\mathbb{R}^d$ are two $C^\infty_b$-functions, and p.v. stands for the Cauchy principal value. Let $B_1(x):=σ(x)$ and $B_{j+1}(x):=b(x)\cdot abla B_j(x)- abla b(x)\cdot B_j(x)$ for $j\in\mathbb{N}$. Under the following Hörmander's type condition: for any $x\in\mathbb{R}^d$ and some $n=n(x)\in\mathbb{N}$, $$ \mathrm{Rank}[B_1(x), B_2(x),\cdots, B_n(x)]=d, $$ by using the Malliavin calculus, we prove the existence of the heat kernel $ρ_t(x,y)$ to the operator $\cal L^{(α)}_{σ,b}$ as well as the continuity of $x\mapsto ρ_t(x,\cdot)$ in $L^1(\mathbb{R}^d)$ for each $t>0$. Moreover, when $σ(x)=σ$ is constant, under the following uniform Hörmander's type condition: for some $j_0\in\mathbb{N}$, $$ \inf_{x\in\mathbb{R}^d}\inf_{|u|=1}\sum_{j=1}^{j_0}|u B_j(x)|^2>0, $$ we also prove the smoothness of $(t,x,y)\mapstoρ_t(x,y)$ with $ρ_t(\cdot,\cdot)\in C^\infty_b(\mathbb{R}^d imes\mathbb{R}^d)$ for each $t>0$.

研究の動機と目的

• ホルマンダーの古典的超微分可能性定理を、$α$-安定レヴィ過程によって駆動される非局所積分微分作用素へと拡張すること。
• 係数に関するホルマンダー型条件の下で、このような非局所作用素の熱核の存在および正則性を確立すること。
• 局所的ホルマンダー条件の下で、空間変数$x$に関する熱核の$L^1$連続性を証明すること。
• 跳躍係数$\sigma$が定数である場合に一様ホルマンダー条件の下で、熱核$(t,x,y) \mapsto \rho_t(x,y)$の$(t,x,y)$における連続的滑らかさを確立すること。

提案手法

• 非局所作用素$\mathcal{L}^{(\alpha)}_{\sigma,b}f(x) = \text{p.v.}\int_{\mathbb{R}^d\setminus\{0\}} \frac{f(x+\sigma(x)z)-f(x)}{|z|^{d+\alpha}} \, dz + b(x)\cdot\nabla f(x)$を、$\alpha \in (0,2)$に対して定義する。
• 反復ベクトル場$B_1(x) = \sigma(x)$、$B_{j+1}(x) = b(x)\cdot\nabla B_j(x) - B_j(x)\cdot\nabla b(x)$を導入し、ホルマンダー括弧条件を一般化する。
• 非ガウス的レヴィノイズを伴う関連SDEにマリヤン・計算を適用し、解の分布の正則性を分析する。
• マリヤン行列およびその行列式を用いて、逆行列式の可積分性を制御し、滑らかな密度の存在を保証する。
• 微分フロー$D^k X_t(x)$のモーメント推定を確立し、ソボレフ埋め込みを用いて熱核の微分に対する境界を導出する。
• 伊藤の公式を用いた時間正則化の議論により、時間$t$に関する滑らかさを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数$\sigma$および$b$がどのような条件下で、非局所作用素$\mathcal{L}^{(\alpha)}_{\sigma,b}$が滑らかな遷移密度を生成するか？
• RQ2 古典的ホルマンダー条件は、$α$-安定ジャンプを伴う非局所作用素へとどのように拡張可能か？
• RQ3 局所的ホルマンダー条件の下で、熱核$\rho_t(x,y)$は存在するか？また、$x$に関する$L^1$連続性は保証されるか？
• RQ4 どのような一様条件が、$\sigma$が定数である場合に$(t,x,y)$における$\rho_t(x,y)$の連続的滑らかさを保証するか？
• RQ5 マリヤン・計算フレームワークは、非ガウス的レヴィノイズを伴う非局所作用素へとどのように拡張可能か？

主な発見

• 局所的ホルマンダー条件$\mathrm{Rank}[B_1(x), \dots, B_n(x)] = d$が、ある$n(x) \in \mathbb{N}$に対して成り立つ場合、熱核$\rho_t(x,y)$は存在し、各$t > 0$に対して$x \mapsto \rho_t(x,\cdot)$は$L^1(\mathbb{R}^d)$で連続である。
• 跳躍係数$\sigma(x) = \sigma$が定数であり、一様ホルマンダー条件$\inf_{x\in\mathbb{R}^d} \inf_{|u|=1} \sum_{j=1}^{j_0} |uB_j(x)|^2 > 0$が成り立つ場合、$t > 0$に対して熱核$\rho_t(x,y)$は$(t,x,y)$に関して滑らかである。
• $t \in (0,t_0)$に対して、熱核の$k$階空間微分は$\sup_x |\nabla^k \mathbb{E}[(\nabla^m f)(X_t(x))]| \leq C \|f\|_\infty t^{-\gamma_{k,m}}$を満たし、$\gamma_{k,m} > 0$である。これは$t=0$付近での特異的挙動を示している。
• マリヤン行列の逆行列は、$\mathbb{E}[(\det \tilde{\Sigma}_t)^{-p/d}] \leq C t^{-2(p+1)/\alpha\gamma}$を満たし、密度の可積分性を制御する。
• 時間$t$に関する$\rho_t(x,y)$の滑らかさは、伊藤の公式および遷移密度の正則性に基づくブートストラップ法により導かれる。
• 結果はマリヤン・計算を用いた確率的アプローチにより得られ、古典的マリヤンによるホルマンダー定理の証明を非局所設定へと拡張したものである。