[論文レビュー] Nonnegative Ricci curvature, almost stability at infinity, and structure of fundamental groups

Jiayin Pan|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非負リッチ曲率をもつ開 $n$-多様体の基本群が、無限遠における普遍被覆の安定性条件下で、有限生成かつほとんどアーベルであることを確立する。具体的には、すべての接錐が固定された空間にGromov-Hausdorff距離で一様に近い、断面が付いたメトリックコーンである場合、$\pi_1(M)$ は、$n$ と体積成長にのみ依存する定数によって上から抑えられる、有限指数の正規自由アーベル部分群を含む。この結果はミルナー予想の部分的解決を与え、ビーバーバッハの定理をリッチ曲率の設定に一般化する。

ABSTRACT

We study the fundamental group of an open $n$-manifold $M$ of nonnegative Ricci curvature with additional stability condition on $\widetilde{M}$, the Riemannian universal cover of $M$. We prove that if any tangent cone of $\widetilde{M}$ at infinity is a metric cone, whose cross-section is sufficiently Gromov-Hausdorff close to a prior fixed metric space, then $π_1(M)$ is finitely generated and contains a normal abelian subgroup of finite index; if in addition $\widetilde{M}$ has Euclidean volume growth of constant at least $L$, then we can bound the index of that abelian subgroup in terms of $n$ and $L$. In particular, our result implies that if $\widetilde{M}$ has Euclidean volume growth of constant at least $1-ε(n)$, then $π_1(M)$ is finitely generated and $C(n)$-abelian.

研究の動機と目的

• 非負リッチ曲率をもつ開多様体の基本群の有限生成性に関するミルナー予想の部分的解決を図ること。
• 普遍被覆における幾何的安定性条件を用いて、平坦多様体に関するビーバーバッハの定理をリッチ曲率の文脈に一般化すること。
• 体積成長およびモデル空間へのGromov-Hausdorff距離の安定性に基づいて、$\pi_1(M)$ のアーベル部分群の指数に対する一様な境界を確立すること。
• 普遍被覆の接錐における「ほぼ無限遠での安定性」条件を導入・利用し、$\pi_1(M)$ の代数的構造を制御すること。

提案手法

• すべての接錐が固定された空間 $X$ にGromov-Hausdorff距離で $\epsilon$-近い断面をもつメトリックコーンであるような、$(C(X), \epsilon)$-無限遠での安定性という概念を導入する。
• 等長作用のGromov-Hausdorff収束を用いて、$\pi_1(M)$ が $\widetilde{M}$ の無限遠における作用を分析する。
• スルールの補題およびコンパクトな冪零リー群の構造結果を用いて、極限空間に作用する等長群の交換子部分群 $[K,K]$ を評価する。
• 体積成長およびGromov-Hausdorff安定性に基づいて、極限空間の等長群の中心および交換子部分群の指数に対する一様な境界を確立する。
• 極限空間への $\widetilde{M}$ の収束および作用の安定性を用いて、$\pi_1(M)$ が有限生成かつほとんどアーベルであることを導出する。
• 体積成長条件を用いて、接錐が $C(S^{n-1})$ に近いことを保証し、$X = S^{n-1}$ として安定性条件を適用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負リッチ曲率をもつ開 $n$-多様体 $M$ の普遍被覆 $\widetilde{M}$ に対して、どのような幾何的条件下で $\pi_1(M)$ は有限生成であるか？
• RQ2 体積成長が 1 に非常に近い $\widetilde{M}$ に対して、$\pi_1(M)$ がほとんどアーベル構造をもつことは示せるか？
• RQ3 体積成長および接錐のGromov-Hausdorff安定性の下で、$\pi_1(M)$ の正規アーベル部分群の指数に対する一様な境界は何か？
• RQ4 接錐の無限遠における「ほぼ安定性」条件は、$\pi_1(M)$ の代数的構造をどのように制御するか？
• RQ5 接錐の次元が変動するが、Gromov-Hausdorff距離で一様に近い場合に、結果を拡張できるか？

主な発見

• 体積成長が $1 - \epsilon(n)$ 以上である場合、$\pi_1(M)$ は有限生成であり、$C(n)$ に依存する定数によって上から抑えられる、有限指数の正規自由アーベル部分群を含む。
• 体積成長条件の下では、アーベル部分群の指数は $C(n)$ によって一様に抑えられ、これは次元 $n$ のみに依存する。
• $\widetilde{M}$ が $(C(S^{n-1}), \epsilon)$-無限遠で安定である場合、基本群 $\pi_1(M)$ は有限生成であり、$C(n)$-アーベルである。
• 証明により、体積成長 $L$ の下で、極限空間に作用する等長群 $K$ の交換子部分群 $[K,K]$ の大きさに対する一様な境界 $C_2(n,L)$ が確立される。
• 極限空間における等長群の構造は、スルールの補題およびコンパクトな冪零リー群の単位成分が中心であることから制御される。
• 等長作用の等長的Gromov-Hausdorff収束を用いた背理法により、$[K:Z(K)]$ が一様に有界であることが示され、これにより $\pi_1(M)$ に有限指数のアーベル部分群が存在する。