[論文レビュー] Normal forms for rank two linear irregular differential equations and moduli spaces

Karamoko Diarra, Frank Loray|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2019

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン球面上のランク2不規則な有理型接続に対して、顕著な特異点を導入し、Birkhoff-Grothendieck分解を固定することによって、一意的な標準形を確立する。この標準形により、このような接続のモジュライ空間の開部分集合が、ヒルツブルーフ面のブ lows-up 上の点のヒルベルトスキームの開部分集合に同定され、以前の対数型結果を一般化し、等モノドロミー系と整合するシンプレクティック構造を提供する。

ABSTRACT

We provide a unique normal form for rank two irregular connections on the Riemann sphere.In fact, we provide a birational model where we introduce apparent singular points and where the bundlehas a fixed Birkhoff-Grothendieck decomposition. The essential poles and the apparent poles provide twoparabolic structures. The first one only depend on the formal type of the singular points. The latter one determine the connection (accessory parameters). As a consequence, an open set of the corresponding moduli space of connections is canonically identified with an open set of some Hilbert scheme of points on the explicit blow-up of some Hirzebruch surface. This generalizes to the irregular case a description dueto Oblezin, and Saito-Szabo in the logarithmic case. This approach is also very close to the work of Dubrovin-Mazzocco with the cyclic vector.

研究の動機と目的

• P^1 上のランク2不規則接続のモジュライ空間の明示的な有理型モデルを構成すること。
• このような接続のモジュライ空間を、ヒルツブルーフ面のブロー・アップ上の点のヒルベルトスキームの開部分集合に同定すること。
• 等モノドロミー変形と整合するモジュライ空間上のシンプレクティック構造を確立すること。
• SzabóとOblezinの以前の対数型結果を不規則な場合に一般化すること。
• 形式的不変量（本質的極）と付加的パラメータ（顕著な極）を分離する、標準的な正規形を提供すること。

提案手法

• 特異点を解消するための有理型変換を導入し、バンドルのBirkhoff-Grothendieck分解を固定する。この変換により、顕著な特異点を追加する。
• 2つのパラボリック構造を定義する：1つは形式的型（本質的極）から、もう1つは接続（顕著な極）から。これらは付加的パラメータを符号化する。
• モジュライ空間 M_μ^Λ からヒルベルトスキーム Hilb^{n−3}(Ω_D) への有理型写像 Φ を構成する。ここで Ω_D は線束 Ω^1_{P^1}(D) の全空間である。
• 余接バンドル Ω_0 上のLiouvilleシンプレクティック形式を用い、Hilb^{n−3}(Ω_D) の開集合へシンプレクティック構造を引き戻し、それが M_μ^Λ 上の自然なシンプレクティック形式に一致することを示す。
• 同伴行列の正規化を適用して、接続をスカラー2階微分方程式に変換し、既知の文献におけるシンプレクティック形式と比較可能にする。
• シンプレクティック形式 ω = ∑ dp_j ∧ dq_j が、明示的な座標比較により、文献（例：[12], [4], [20]）で知られている形式と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P^1 上のランク2不規則接続に対して、形式的不変量と付加的パラメータを分離する一意的な正規形を構成可能か？
• RQ2 このような接続のモジュライ空間は、ヒルツブルーフ面のブロー・アップ上の点のヒルベルトスキームと有理型同値か？
• RQ3 モジュライ空間上のシンプレクティック構造は、有理型写像 Φ を通じてLiouville形式の引き戻しと一致するか？
• RQ4 正規形は、既知のスカラー方程式および対数型の場合のシンプレクティック構造とどのように関係するか？
• RQ5 Komyoの後続作業により確認されたように、正規形を用いて等モノドロミーのハミルトニアン系を構成可能か？

主な発見

• μ-安定な Λ-接続のモジュライ空間 M_μ^Λ は、ヒルベルトスキーム Hilb^{n−3}(Ω_D) への有理型写像 Φ を持つ。ここで n = deg(D) である。
• M_μ^Λ 上のシンプレクティック構造は、Φ を通じてシンプレクティック形式 ∑_{j=1}^{n−3} dp_j ∧ dq_j に引き戻され、文献で知られている形式と一致する。
• Φ はシンプレクティック写像である。Komyo [13] より確認され、Fuchsianの場合および不規則な場合で5個までの極について明示的に検証された。
• 正規形は形式的データ（本質的極）と付加的パラメータ（顕著な極）を分離し、後者は接続を一意に決定する。
• 本研究は、SzabóとOblezinの対数型結果を不規則な設定に一般化した。
• 正規形に付随するスカラー微分方程式は、OkamotoとKimuraの研究で知られている形式と一致し、シンプレクティック構造の一貫性が確認された。