[論文レビュー] Notes on Clans and Tribes

André Joyal|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、『クラン』と『トライブ』——ファイブレーションとアノイドン写像を備えた圏——の概念を用いて、ホモトピー型理論のカテゴリー的枠組みを提示する。トライブがブラウンファイブレーション圏であることが確立されており、依存型やホモトピー論の基礎的道具が提供されるが、ユニバーシャルトライブ構成はまだ未完成のままである。主な貢献は、ホモトープ的構造を有する型理論のカテゴリー的基盤の構築である。

ABSTRACT

The purpose of these notes is to give a categorical presentation/analysis of homotopy type theory. The notes are incomplete as they stand (October 2017). The chapter on univalent tribes is missing. The references are not always connected to the text. A better version is in preparation.

研究の動機と目的

• 『クラン』という概念を用いて、依存型のカテゴリー的モデルを構築すること。
• マーチン・ローフ型理論にホモトープ的構造を組み込んだ主要な特徴を捉えるために、『トライブ』をカテゴリー的構造として導入すること。
• トライブがブラウンファイブレーション圏であることを確立し、型理論的構成のホモトピー的解釈を可能にすること。
• 今後、ユニバーシャルトライブ構成を構築する基盤を築くこと。本バージョンでは未完成のままである。
• トライブおよびクランの単体的変種を検討し、高次トポス論およびホモトピー論への応用を図ること。

提案手法

• ファイブレーションの族が合成およびベースチェインに関して閉じている圏として『クラン』を定義し、依存型のカテゴリー的モデルを構築する。
• クランにおける『アノイドン写像』を導入し、アノイドン写像のベースチェインがアノイドンであり、かつすべての写像がアノイドン写像の後にファイブレーションが続く形に分解できるようなクランとして『トライブ』を定義する。
• ヤノーデ埋め込みとリーディー・ファイブランスな図式を用いて、和や積のような型理論的構成をモデル化する。
• マッピングパス対象を構成し、アキュイリック写像とファイブレーションへの分解を用いてホモトピー的カルテジアン四角形を定義する。
• グロテンディークファイブレーションの理論とリフト性質の理論を応用し、ホモトピー論の文脈におけるファイブレーションおよびアノイドン写像を分析する。
• 単体的トライブを導入し、ユニバーシャルなユニバースや高次トポスのモデル化に適した高次元一般化としての役割を果たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイブレーションの族が存在するが、命題的等価性を持たない『クラン』というカテゴリー的構造が、どのように依存型をモデル化できるか？
• RQ2 クランがトライブに拡張されるための条件は何か？ そして、ファイブレーションとアノイドン写像との関係は？
• RQ3 ホモトピー的カルテジアン四角形やマッピングパス対象は、トライブ内でどのように生じるのか？ また、それらは型理論的パスのモデル化において果たす役割は？
• RQ4 トライブとブラウンファイブレーション圏との関係は何か？ そして、この関係がホモトピー的推論をどのように支援するか？
• RQ5 単体的トライブは、どのようにユニバーシャル型理論をモデル化できるか？ また、ユニバーシャルトライブを構成するために必要な構造は何か？

主な発見

• すべてのトライブはブラウンファイブレーション圏である。これは、ファイブレーションと弱同値を備えたホモトピー論のカテゴリー的設定を提供する。
• ファイブレーションに沿ったアキュイリック写像のベースチェインは、アキュイリックである。これは、トライブにおけるホモトピー的整合性の鍵となる性質である。
• ホモトピー的カルテジアン四角形は、右側の写像をアキュイリック写像とファイブレーションへの分解の後、誘導写像 (u, v₀g) がアキュイリックであることに特徴づけられる。
• トライブの理論はパス対象の構成を可能にし、ファイブリスなホモトピーの定義を可能にし、恒等型のモデル化に不可欠である。
• この枠組みは、積や多項式ファンクターの内部化を可能にし、型理論的構成のカテゴリー的取り扱いを可能にする。
• 単体的トライブは高次元一般化として導入され、ユニバーシャル基盤および高次トポス論への応用が期待される。