[論文レビュー] Notes on genus one real Gromov-Witten invariants

Mohammad Farajzadeh Tehrani|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック多様体の実構造（特にカーミー＝ヤウ3次元多様体を含む）に対して、3つの実曲線のモジュライ空間を境界による貼り合わせによって結合することで、余次元1の境界を除去し、可定向性を保証する方法により、種数1の実Gromov-Witten不変量の定義を提案する。等長的局在化を用いて、複素射影空間における不変量を計算し、アニュラス型、メビウス型、クラインボトル型の不変量が別々に存在するとは限らないことが示され、物理学者の期待に反する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a definition of genus one real Gromov-Witten invariants for certain symplectic manifolds with real a structure, including Calabi-Yau threefolds, and use equivariant localization to calculate certain genus one real invariants of the projective space. For this definition, we combine three moduli spaces corresponding to three possible types of involutions on a symplectic torus, by gluing them along common boundaries, to get a moduli space without codimension-one boundary and then study orientation of the total space. Modulo a technical conjectural lemma, we can prove that the result is an invariant of the corresponding real symplectic manifold. In the aforementioned example, our main motivation is to show that the physicists expectation for the existence of separate Annulus, Mobius, and Klein bottle invariants may not always be true.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体の実構造（カーマイ・ヤウ3次元多様体を含む）に対して、種数1の実Gromov-Witten不変量を定義すること。
• 共通の境界に沿って3種類の実曲線のモジュライ空間を結合することで、モジュライ空間における可定向性の問題を解決すること。
• 複素射影空間における具体的な不変量を計算するために、等長的局在化技術を適用すること。
• 物理学者の期待に従い、アニュラス型、メビウス型、クラインボトル型の不変量が常に別々に存在するという仮定を検証すること。

提案手法

• シンプレクティックトーラス上の異なるインボリューション型に対応する3つのモジュライ空間を、共通の境界成分に沿って貼り合わせること。
• 余次元1の境界を含まない総体モジュライ空間を構成し、well-definedな可定向性を保証すること。
• 複素射影空間の場合に、種数1の実不変量を計算するために等長的局在化技術を適用すること。
• 実シンプレクティック多様体および実構造の構造を活用して、変形に対して不変である不変量を定義すること。
• 実曲線の位相的性質（実的、方向反転型、方向保存型のインボリューション）を統合的に活用して、モジュライ構成を統一すること。
• 技術的予想補題を仮定することで、得られた数え上げが実シンプレクティック構造に対して不変であることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数1の実Gromov-Witten不変量は、カーマイ・ヤウ3次元多様体を含む実シンプレクティック多様体に対して一貫して定義可能か？
• RQ2 提案されたモジュライ空間の構成は、余次元1の境界成分を含まず、well-definedな可定向性を有するか？
• RQ3 物理学者の期待に従い、アニュラス型、メビウス型、クラインボトル型の不変量が常に別々に存在するのか？
• RQ4 等長的局在化は、射影空間のような具体的な例において、種数1の実不変量を効果的に計算するために適用可能か？
• RQ5 提案された定義は、技術的補題が成り立つ限り、実シンプレクティック多様体の不変量として成立するのか？

主な発見

• 提案されたモジュライ空間の構成は、3種類の実曲線のモジュライ空間を境界に沿って貼り合わせることで、余次元1の境界成分を効果的に除去した。
• 技術的予想補題を仮定すれば、総体モジュライ空間の可定向性はwell-definedである。
• 複素射影空間における種数1の実不変量は、等長的局在化を用いて計算された。
• 計算の結果、アニュラス型、メビウス型、クラインボトル型の不変量が別々に存在するとは限らないことが示され、一般的な物理的期待と矛盾した。
• 得られた不変量は、技術的補題が成立する限り、基礎となる実シンプレクティック多様体の不変量であると予想される。