[論文レビュー] Novel Approach Towards Global Optimality of Optimal Power Flow Using Quadratic Convex Optimization

Hadrien Godard, Sourour Elloumi+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2019

Optimal Power Flow Distribution参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、二次凸最適化を用いて最適潮流（OPF）問題をグローバル最適に解くために、特殊化された混合整数二次凸再定式化（MIQCR）手法を提案する。ランク緩和から導かれるより小さな半定値計画（SDP）緩和を活用することで、分枝限定木のルートノードにおけるタイトな下界が得られ、2〜1354バスのテストケースにおいて、近似的に最適な性能でギャップを効率的に閉じることが可能になる。

ABSTRACT

Optimal Power Flow (OPF) can be modeled as a non-convex Quadratically Constrained Quadratic Program (QCQP). Our purpose is to solve OPF to global optimality. To this end, we specialize the Mixed-Integer Quadratic Convex Reformulation method (MIQCR) to (OPF). This is a method in two steps. First, a Semi-Definite Programming (SDP) relaxation of (OPF) is solved. Then the optimal dual variables of this relaxation are used to reformulate OPF into an equivalent new quadratic program, where all the non-convexity is moved to one additional constraint. In the second step, this reformulation is solved within a branch-and-bound algorithm, where at each node a quadratic and convex relaxation of the reformulated problem, obtained by relaxing the non-convex added constraint, is solved. The key point of our approach is that the lower bound at the root node of the branch-and-bound tree is equal to the SDP relaxation value. We test this method on several OPF cases, from two-bus networks to more-than-a-thousand-buses networks from the MAT-POWER repository. Our first results are very encouraging.

研究の動機と目的

• 非凸的最適潮流（OPF）問題を凸最適化技術を用いてグローバル最適に解くこと。
• 半定値緩和を活用することで、分枝限定法における下界の品質を向上させること。
• 標準的なMIQCRと比較して、より小さなSDP緩和を用いることで計算オーバーヘッドを低減しつつ、最適性保証を維持すること。
• 特化した分枝限定フレームワークを用いて、最良の既知の実行可能解と下界の双対ギャップを効率的に閉じること。
• MATPOWERリポジトリの大型OPFインスタンスに対して、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 本手法は、まず半定値計画（SDP）を用いてランク（ショア）緩和を解くことで、強力な下界を提供する。
• 元のOPF問題を、非凸性が1つの制約に集中する同等の二次計画問題に再定式化する。
• 再定式化された問題は、分枝限定法で解かれる。各ノードでは、非凸制約を緩和した凸二次緩和問題を解く。
• 主な革新点は、フルMIQCR手法と同等の下界を達成するために、元のランク緩和の双対であるより小さなSDP緩和で十分であることを証明することにある。
• SDP計算において問題のスパarsityを活用するための弦型分解を用い、凸部分問題にはXpress、ヒューリスティック解にはKnitroを用いる。
• 分枝はδパラメータを0.5に設定し、時間制限を300秒、最終的な最適性ギャップ許容誤差を$10^{-5}$に設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なMIQCRと比較して、OPFのグローバル最適性境界を達成するために、より小さな半定値緩和を用いることができるか？
• RQ2 MIQCRによる再定式化されたOPF問題は、分枝限定木のルートノードにおけるよりタイトな下界を実現できるか？
• RQ3 分枝限定フレームワークは、大型OPFインスタンスにおいて双対ギャップを効率的に閉じられるか？
• RQ4 提案されたMIQCRベースのOPFソルバの性能は、Baronのような汎用ソルバーよりも優れているか？
• RQ5 境界のタイトニングとヒューリスティック戦略は、大型OPF問題における収束をどの程度改善できるか？

主な発見

• 20のテストケースのうち15件（1354バスのPegaseシステムを含む）で、MIQCR手法は300秒以内に0%の最適性ギャップを達成し、グローバル最適性を示した。
• MIQCRのルートノードギャップは一貫してタイトで、20件のうち11件で0%であった。これは、SDPランク緩和が下界として強力であることを示している。
• 一方、Baronソルバは大きなルートギャップ（例：118、300、300modケースで100%）を示し、5分間の時間制限内でもほとんど改善がなかった。
• 1354バスのPegaseケースでは、MIQCRは204秒で0%ギャップを達成したが、Baronは69%ギャップにとどまった。
• 分枝限定中に上界が改善された（例：case300では475,783から475,462.2に）。これは、効果的な解の精錬を示している。
• 特にBaronがギャップを閉じられない大型インスタンスにおいて、本手法は汎用ソルバーよりも優れた性能を示した。