[論文レビュー] Observable set, observability, interpolation inequality and spectral inequality for the heat equation in $\mathbb{R}^n$

Gengsheng Wang, Ming Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ 上の熱方程式に関して、可観測性、補間、スペクトル不等式の同値性を確立し、可測集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ がこれらの不等式を満たすための必要十分条件として、ある $> 0$ および $L > 0$ に対して $\gamma$-厚さを持つこと、すなわち、すべての $x \in \mathbb{R}^n$ に対して $|E \cap (x + LQ)| \geq \gamma L^n$ を満たすことであることを証明している。主な貢献は、全空間上での熱方程式の文脈において、厚さ条件による可観測集合の完全な特徴付けと、基本的な不等式の同値性の確立である。

ABSTRACT

This paper studies connections among observable sets, the observability inequality, the Hölder-type interpolation inequality and the spectral inequality for the heat equation in $\mathbb R^n$. We present a characteristic of observable sets for the heat equation. In more detail, we show that a measurable set in $\mathbb{R}^n$ satisfies the observability inequality if and only if it is $γ$-thick at scale $L$ for some $γ>0$ and $L>0$.We also build up the equivalence among the above-mentioned three inequalities. More precisely, we obtain that if a measurable set $E\subset\mathbb{R}^n$ satisfies one of these inequalities, then it satisfies others. Finally, we get some weak observability inequalities and weak interpolation inequalities where observations are made over a ball.

研究の動機と目的

• 熱方程式の可観測集合の構造を $\mathbb{R}^n$ で特徴付けること。
• 可観測性不等式、ホルダー型補間不等式、スペクトル不等式の間の同値性を確立すること。
• 可観測性不等式が成り立つための必要十分条件を、$\gamma$-厚さ集合の概念を用いて提示すること。
• 観測が $\mathbb{R}^n$ の球上で行われる場合の弱可観測性および補間不等式を導出すること。

提案手法

• 可観測性の幾何的基準として、すべての $x \in \mathbb{R}^n$ に対して $|E \cap (x + LQ)| \geq \gamma L^n$ を満たす $\gamma$-厚さ集合の概念を導入する。
• フーリエ解析と熱核推定を用いて、熱方程式の解の減衰および伝播を分析する。
• ヤングの不等式と $L^1$-$L^2$ 推定を用いて、時刻 $T$ における解の $L^2$ ノルムを球上での観測に基づいて評価する。
• 初期データが球に台を持つ場合に、時間平均推定を用いて弱可観測不等式を導出する。
• 点での評価および積分評価を導く中心的道具として、熱核表現 $u(t,x) = (4\pi t)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-|x-y|^2/(4t)} u_0(y) dy$ を用いる。
• $\gamma$-厚さ条件の下で、各不等式が互いに他を含むことを示すことにより、三つの不等式の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可測集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ が熱方程式の可観測性不等式を満たすために必要な幾何的条件は何か？
• RQ2 熱方程式の文脈において、可観測性不等式、ホルダー型補間不等式、スペクトル不等式の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 観測が $\mathbb{R}^n$ の球上に制限される場合、弱可観測性および補間不等式を確立できるか？
• RQ4 初期データの集中（例えば、正の質量を持つ部分球内）は、弱可観測推定を導出する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 可測集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ が可観測性不等式を満たすための必要十分条件は、ある $\gamma > 0$ および $L > 0$ に対して $\gamma$-厚さを持つことである。これは、可観測集合の完全な幾何的特徴付けを提供する。
• 観測集合が $\gamma$-厚さ条件を満たすとき、熱方程式の文脈において、可観測性不等式、ホルダー型補間不等式、スペクトル不等式は同値である。
• 初期データ $u_0$ が球 $B_r$ に台を持ち、$\int_{B_r} u_0 \geq \mu \int_{\mathbb{R}^n} u_0$ を満たすとき、解は弱可観測不等式 $\|u(T,\cdot)\|_{L^2}^2 \leq C \int_0^T \int_{|x| \leq M} |u(t,x)|^2 dx dt$ を満たす。ここで $C$ は $n$, $T$, $M$, $r$, $\mu$ に依存する。
• 弱可観測不等式の定数は、explicitに $\frac{2^{n/2 + 1} \pi^{n/2} T^{n/2 - 1}}{V_n M^n \mu^2} e^{4r^2 / T}$ によって上界で抑えられ、$r^2/T$ に対して指数関数的依存性を示す。
• 本稿では、$\gamma$-厚さがスケール $L$ で成り立つならば、スケール $2L$ でも成り立つことが証明されるが、逆は成り立たないことが示され、厚さ条件の階層関係が明確にされた。
• 三つの不等式の同値性は、熱核推定、$L^1$-$L^2$ 推定、時間平均 $L^2$ ノルム制御を含む推定の鎖を通じて確立された。