[論文レビュー] Occupation times of refracted L evy processes with jumps having rational Laplace transform

Lan Wu, Jiang Zhou|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、跳躍のラプラス変換が有理関数である refracted Lévy 过程の解析を、ガウス成分を含まない場合を含めて、先行研究を拡張したものである。著者らは、占有可能時間に関する新しい恒等式を導出するための革新的な解析的手法を提案し、この恒等式はすべての Lévy 过程に一般に成り立つものだと仮説され、今後の研究の基盤となる可能性を秘めている。

ABSTRACT

We extend our previous research in Zhou and Wu (2015) to more general jump diusion processes, whose jumps have rational Laplace transform. We also consider a refracted L evy process without Gaussian component, which has not been investigated in Zhou and Wu (2015) and under which some interesting results are obtained. We remark that this extension is non-trivial. Actually, to derive our main results in this paper, we should make some modications on the approach used in Zhou and Wu (2015). We have to say that the modied method is so novel that some important equations can be obtained without much eort. In addition to deriving formulas that can be used to compute the expectation of the total time of deducting fees as in Zhou and Wu (2015), we also obtain a very interesting identity. We conjecture that this identity holds for an arbitrary L evy process, and we believe that this identity will play an important role in the research on occupation times of refracted L evy processes.

研究の動機と目的

• 従来の占有可能時間に関する結果を、有理ラプラス変換を持つ跳躍分布を含む refracted Lévy 过程に一般化すること。
• ガウス成分を含まない refracted Lévy 过程の研究を、これまでの研究ではカバーされていなかったケースとして行うこと。
• より高い効率で主要な結果を導出可能となるように、分析手法を修正・発展させること。
• すべての Lévy 过程に普遍的に成り立つ可能性がある占有可能時間に関する新しい恒等式を確立すること。
• 手数料控除が行われる合計時間の期待値を計算するための公式を提供し、従来の計算ツールを拡張すること。

提案手法

• Zhou と Wu (2015) の分析フレームワークを改変し、有理ラプラス変換を持つ跳躍を扱えるようにすること。
• フラクチュエーション理論およびスケール関数の道具を用いて、refracted Lévy 过程における占有可能時間の分析を行うこと。
• ウィーナー＝ホップ因数分解技法を精緻に応用することで、占有可能時間に関する新しい恒等式を導出すること。
• ラプラス変換の有理構造を活用して、重要な積分微分方程式を簡略化・解明すること。
• パス分解およびエクストリーム理論を用いて、refracted 过程とその元となる Lévy 过程との関係を確立すること。
• 新規手法を適用して、手数料控除メカニズム下での期待占有可能時間の明示的表現を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 refracted Lévy 过程の占有可能時間解析を、有理ラプラス変換を持つ跳躍分布にまで拡張するにはどうすればよいか？
• RQ2 ガウス成分を含まない refracted Lévy 过程を扱うために、どのような新たな解析的ツールが必要か？
• RQ3 すべての Lévy 过程に普遍的に成り立つ占有可能時間に関する恒等式を導出できるか？
• RQ4 修正された手法は、Zhou と Wu (2015) が用いた手法と比べてどのように改善されているか？
• RQ5 新しい恒等式は、refracted Lévy 过程分野における今後の研究にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 有理跳躍分布を有する refracted Lévy 过程における占有可能時間の結果を効率的に導出可能な、革新的な解析手法が開発された。
• 手数料控除が行われる合計時間の期待値を計算する明示的公式が導出され、従来の計算ツールが拡張された。
• すべての Lévy 过程に普遍的に成り立つ可能性がある占有可能時間に関する新しい恒等式が同定された。
• この恒等式は、修正された手法から自然に導かれることが示され、占有可能時間分布に深いつながりを持つ構造的性質を示唆している。
• この手法はガウス成分を含まない refracted Lévy 过程に対しても適応可能であり、新たな解析的洞察を明らかにした。
• 結果から、有理ラプラス変換の構造が占有可能時間の解析において顕著な簡略化を可能にすることが示された。