[論文レビュー] Okounkov Bodies of Complexity-One T-Varieties

Lars Petersen|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有理的・射影的複雑性1のT多様体に対するOkounkov体を、一般およびトーリックの2種類のT不変フラグを用いて計算し、それらの体が有理的多面体であることを示している。さらに、このような多様体のグローバルOkounkov体が有理的多面体錐であることを証明し、除法的ファンと多面体的除法関数を用いたトーリック多様体およびトーリックベクトル束に関する先行研究を拡張している。

ABSTRACT

We compute Okounkov bodies of projective complexity-one T-varieties with respect to two types of invariant flags. In particular, we show that the latter are rational polytopes. Moreover, using results of Dave Anderson and Nathan Ilten, we briefly exhibit explicit links to degenerations and T-deformations. Finally, we prove that the global Okounkov body of a rational projective complexity-one T-variety is rational polyhedral.

研究の動機と目的

• トーリック多様体およびトーリックベクトル束のOkounkov体理論を、より広いクラスの有理的・射影的複雑性1のT多様体へと拡張すること。
• T不変フラグに関するOkounkov体が有理的多面体であることを確立し、トーリック設定における既知の結果を一般化すること。
• 複雑性1のT多様体のグローバルOkounkov体の構造を調査し、その有理的多面体的性質を証明すること。
• 除法的ファンからの組合せ的データを介して、Okounkov体と幾何的退化およびT変形との関係を確立すること。
• 除法的サポート関数と双対多面体的構造を用いて、Okounkov体の明示的な組合せ的記述を提供すること。

提案手法

• 複雑性1のT多様体の除法的ファンおよび多面体的除法関数による組合せ的記述を用いる。
• T固定点周辺の局所商構造に基づき、一般およびトーリックの2種類のT不変適切フラグを構成する。
• Okounkov体を、除法的サポート関数 $ h $ から導かれる多面体 $ \Box_h $ 上の区分的アフィン線形関数 $ h^* $ を用いて表現する。
• Klyachkoのフィルトレーションおよびトーリック退化の結果を応用し、Okounkov体と幾何的変形を結びつける。
• 有理的多面体的基底上の凹で区分的アフィン線形関数のグラフの閉包としてグローバルOkounkov体を構成する。
• グローバルOkounkov体が有理的多面体的断面の上にできる錐として生じることから、有理的多面体的性質が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的・射影的複雑性1のT多様体のT不変フラグに関するOkounkov体は有理的多面体か？
• RQ2 複雑性1のT多様体のグローバルOkounkov体は除法的ファンの観点からどのように組合せ的に記述できるか？
• RQ3 このクラスの多様体において、Okounkov体とT変形またはトーリック退化との関係は何か？
• RQ4 有効な除法関数の錐と双対関数の構造を用いて、グローバルOkounkov体が有理的多面体的であることを示せるか？
• RQ5 トーリックベクトル束および滑らかで射影的なトーリック多様体に関する先行研究は、どのように一般化されるか？

主な発見

• 有理的・射影的複雑性1のT多様体上のT不変ビッグ除法関数 $ D_h $ のOkounkov体 $ \Delta_{Y_\bullet}(D_h) $ は、一般フラグまたはトーリックフラグを用いて計算した場合、有理的多面体である。
• Okounkov体の構造は、除法的サポート関数 $ h $ から導かれる多面体 $ \Box_h $ 上の区分的アフィン線形関数 $ h^* $ を用いて明示的に記述される。
• グローバルOkounkov体 $ \Delta_{Y_\bullet}(\operatorname{TV}(\mathcal{S})) $ は有理的多面体錐であり、有理的多面体的基底上の凹で区分的アフィン線形関数のグラフの閉包として構成される。
• グローバルOkounkov体は、一般ファイバー $ \operatorname{TV}(\operatorname{tail}\mathcal{S}) $ のグローバルOkounkov体と、双対写像 $ \xi \mapsto \xi^* $（これは区分的アフィン線形）によって決定される。
• 双対関数 $ \cdot^* $ がアフィン線形となる線分の有限分解から、グローバルOkounkov体の有理的多面体的構造が導かれる。
• Gonzálezのトーリックベクトル束に関する先行研究を一般化し、非トーリックな設定においてもグローバルOkounkov体が有理的多面体的であることが示された。