[論文レビュー] The gravity duals of N=2 superconformal field theories

Davide Gaiotto, Juan Maldacena|ArXiv.org|Apr 28, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 127

ひとこと要約

この論文は、穴あきリーマン面を幾何的データとして用い、M理論の $AdS_5$ 空間への compactification を通じて、4次元 ${\cal N}=2$ 超共形場理論の広いクラスの重力双対を構成する。場理論のデータ—例えばゲージカップリングや全局的対称性—と、それに対応する M理論の幾何が、穴あきを表す境界条件を持つ Toda 方程式の解を通じて正確に一致することが示された。

ABSTRACT

We study the gauge/gravity duality for theories with four dimensional ${\cal N}=2$ supersymmetries. We consider the large class of generalized quiver field theories constructed recently by one of us (D.G.). These field theories can also be viewed as the IR limit of M5 branes wrapping a Riemann surface with punctures. We give a prescription for constructing the corresponding geometries and we discuss a few special cases in detail. There is a precise match for various quantities between the field theory and the M-theory description.

研究の動機と目的

• M5-brane がリーマン面を包み込むことで構成される $\mathcal{N}=2$ 超共形場理論と、それらの M理論における重力双対の間の明確な対応関係を確立すること。
• 穴あきを $SU(N)$ ユング図に従って分類し、それらを場理論における全局的対称性やゲージダイナミクスに関連付けること。
• 穴あき構造によって定まる境界条件を持つ Toda 方程式を用いた、重力解を構築する一般的手順を提供すること。
• 場理論と重力側の中心的係数 $a$ と $c$ の一致を確認し、双対性の整合性を裏付けること。
• $\mathcal{N}=2$ 理論における $N^3$ スケーリングの自由度の出現を、6次元 $(2,0)$ 理論の $N$ が大きい極限を通じて理解すること。

提案手法

• 穴あきを伴うリーマン面上での Toda 方程式を、M理論の $AdS_5$ compactification を構築する核心的な幾何方程式として用いる。
• 場理論のデータ—例えばゲージカップリングや全局的対称性—を、リーマン面の複素構造モジュライと穴あきの種類という幾何的データに写像する。
• 穴あきを $SU(N)$ ユング図によって分類し、異なる表現が、異なる全局的対称性と、ボリューム内での $A_{k-1}$ 奇性に対応することを示す。
• 穴あきにおける境界条件を満たす Toda 方程式の解を用いて、M理論背景の完全な内部幾何を導出する。
• 場理論と重力解の両側で、中心的係数 $a$ と $c$ の主要項および補正項が正確に一致することを確認する。
• $T_N$ 理論（3つの穴あきを持つ球面上に $N$ 個の M5-brane が存在する理論）を、高 genus のリーマン面上でのクーヴィア理論を構築する基本的ブロックとして用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M5-brane がリーマン面を包み込むことで生じる $\mathcal{N}=2$ 超共形場理論の重力双対を、体系的にどのように構築できるか。
• RQ2 リーマン面上の穴あきと、双対場理論における全局的対称性やゲージダイナミクスとの間の明確な幾何的・代数的対応関係は何か。
• RQ3 場理論における中心的係数 $a$ と $c$ が、重力解から計算されたものとどのように一致するか。
• RQ4 $\mathcal{N}=2$ 理論における自由度の $N^3$ スケーリングは、M理論の幾何とリーマン面のトポロジーからどのように理解できるか。
• RQ5 Toda 方程式は、穴あきを伴う $AdS_5$ compactification の完全な幾何をどのように符号化しているか。

主な発見

• 穴あきを伴うリーマン面上での Toda 方程式の境界条件によって定まる解を用いた $AdS_5$ への M理論 compactification として、$\mathcal{N}=2$ SCFT の重力双対が構成された。
• リーマン面の複素構造モジュライ、特に穴あきの位置が、双対場理論におけるゲージカップリングを直接符号化している。
• $SU(N)$ ユング図によって分類される穴あきは、場理論における全局的対称性に対応し、ボリューム内での $A_{k-1}$ 奇性から非アーベル対称性が生じる。
• 中心的係数 $a$ と $c$ の主要項および補正項が、場理論と重力解の両側で正確に一致し、双対性の整合性が裏付けられた。
• ゲージ群が $SU(N)$ で、ファーミオン数が $2N$ の理論は、古典的には共形性が破れるが、本構成により一貫した重力双対を有することが示された。
• $T_N$ 理論（3つの穴あきを持つ球面）は、高 genus のリーマン面上でのクーヴィア理論を構築する基本的ブロックであり、その幾何は場理論のクーヴィアトポロジーを反映している。