[論文レビュー] Riemannian geometry of Kahler-Einstein currents III: compactness of Kahler-Einstein manifolds of negative scalar curvature

Jian Song, Jacob Sturm+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 59被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一様な体積束縛のもとで、負のリッチ曲率をもつn次元のケーラー・アインシュタイン多様体のコンパクト性を確立し、任意の列が点付きGromov-Hausdorff位相で、特異性が制御された完全なケーラー・アインシュタイン計量空間の有限個の直和に収束することを証明している。さらに、Weil-Petersson計量がKSBAコンパクト化上に一意に拡張され、有界な局所ポテンシャルを持つケーラー・カレントをなすことから、粗いモジュライ空間の体積が有限であることが示される。

ABSTRACT

Let $\mathcal{K}(n, V)$ be the set of $n$-dimensional compact Kahler-Einstein manifolds $(X, g)$ satisfying $Ric(g)= - g$ with volume bounded above by $V$. We prove that after passing to a subsequence, any sequence $\{ (X_j, g_j)\}_{j=1}^\infty$ in $\mathcal{K}(n, V)$ converges, in the pointed Gromov-Hausdorff topology, to a finite union of complete Kahler-Einstein metric spaces without loss of volume. The convergence is smooth off a closed singular set of Hausdorff dimension no greater than $2n-4$, and the limiting metric space is biholomorphic to an $n$-dimensional semi-log canonical model with its non log terminal locus of complex dimension no greater than $n-1$ removed. We also show that the Weil-Petersson metric extends uniquely to a Kahler current with bounded local potentials on the KSBA compactification of the moduli space of canonically polarized manifolds. In particular, the coarse KSBA moduli space has finite volume with respect to the Weil-Petersson metric. Our results are a high dimensional generalization of the well known compactness results for hyperbolic metrics on compact Riemann surfaces of fixed genus greater than one.

研究の動機と目的

• 一様な体積束縛のもとで、負のスカラー曲率をもつケーラー・アインシュタイン多様体のコンパクト性を確立すること。
• そのような列のGromov-Hausdorff極限の構造、特異性およびバイホロモーフィック構造を記述すること。
• 正規化された極小な多様体のモジュライ空間のKSBAコンパクト化へのWeil-Petersson計量の拡張すること。
• 拡張されたWeil-Petersson計量が有界な局所ポテンシャルを持ち、粗いモジュライ空間の体積が有限であることを証明すること。

提案手法

• 非崩壊的状態におけるケーラー・アインシュタイン計量の崩壊を制御するため、部分的$C^0$-推定と解析的推定を用いる。
• 幾何的推定と収束技法を適用して、極限空間の構造と特異点集合を分析する。
• 安定な系列の canonical モデルと半安定還元を用いて、計量の極限を代数幾何と関連付ける。
• 曲率と崩壊のない状態における非崩壊性を制御するため、チョッピング技法と洗練された$\mathcal{C}^\infty$-正則性定理を用いる。
• 有限被覆からの計量の押し出しを用いてWeil-Peterssonカレントを構成し、特異点を解消することで大域的拡張を達成する。
• Q-Fano多様体と半対数正則モデルを含む代数幾何の道具を用いて、極限計量空間を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ曲率が$-g$で、体積が一様に有界なn次元ケーラー・アインシュタイン多様体の列のGromov-Hausdorff極限の構造は何か？
• RQ2 極限計量空間の特異性は、対応する代数幾何的多様体の性質とどのように関係するか？
• RQ3 正規化された極小多様体のモジュライ空間におけるWeil-Petersson計量は、KSBAコンパクト化に拡張可能か？
• RQ4 拡張されたWeil-Petersson計量は、コンパクト化されたモジュライ空間上で有界な局所ポテンシャルを持つか？
• RQ5 Weil-Petersson計量に関して、粗いKSBAモジュライ空間の体積は有限か？

主な発見

• 任意の列が$\mathcal{K}(n,V)$に属する場合、点付きGromov-Hausdorff位相で、体積損失なしに完全なケーラー・アインシュタイン計量空間の有限個の直和に収束する。
• 極限空間は、複素次元が高々$n-1$の非対数正則でない部分集合を除いたn次元の半対数正則モデルとバイホロモーフィックである。
• 極限空間の特異点集合のハウスドルフ次元は高々$2n-4$であり、この集合を除いて収束は滑らかである。
• Weil-Petersson計量は、KSBAコンパクト化上に一意に拡張され、有界な局所ポテンシャルを持つケーラー・カレントをなす。
• 粗いKSBAモジュライ空間は、Weil-Petersson計量に関して有限体積をもつ。これは、第一チャーン類の高次冪の有理数的正性によって示される。
• モジュライ空間の体積は$ (c_1(\mathcal{L}))^d \in \mathbb{Q}^+ $に等しく、交線理論により体積が有限であることが確認される。