[論文レビュー] On a new class of infinitesimal group actions on pseudo-Riemannian manifolds

Sigbjørn Hervik|arXiv (Cornell University)|May 23, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、計量のリー微分が冪零であるベクトル場として定義されるNil-Killingベクトル場——これは、特定の擬リーマン多様体が $χ$-退化（つまり、同じ多項式曲率不変量を持つ）である理由を説明する新しい幾何的構造である——を導入する。Killingベクトル場の一般化として、これらの場は、すべてのスカラー曲率不変量を保存する一意パラメータ族の微分同相写像を生成し、CSI（定数スカラー曲率不変量）時空の局所的メカニズムを提供する。主な貢献は、既知のすべての $χ$-退化例がこのようなNil-Killingリー代数を有することであり、局所的同次性を超えて、それらのCSI性質を統一的に説明するものである。

ABSTRACT

Using the Lie derivative of the metric we define a class of Lie algebras of vector fields by generalising the concept of Killing vectors. As a Lie algebra they define locally a group action on the pseudo-Riemannian manifold through exponentiation. The motivation behind studying these infinitesimal group actions is the investigation of $\mathcal{I}$-degenerate pseudo-Riemannian spaces, i.e., spaces having identical polynomial curvature invariants. In particular, we show that all the known examples of $\mathcal{I}$-degenerate pseudo-Riemannian spaces possess such vector fields.

研究の動機と目的

• 局所的に同次でない擬リーマン多様体、特に中性符号の時空におけるCSI（定数スカラー曲率不変量）性質を説明すること。
• Killingベクトル場を一般化する、すべての多項式曲率不変量を保存する新しいベクトル場のクラス——Nil-Killing場——を特定すること。
• Nil-Killing場のリー代数を介して、微分同相写像の下で曲率不変量が不変であるような局所的幾何的メカニズムを確立すること。
• 4次元の中性符号で十分なKillingベクトルを持たないが、$χ$-退化している既知の計量を統一的に理解する枠組みを提供すること。

提案手法

• すべてのスカラー多項式曲率不変量を不変にする微分同相写像を、$χ$-保存的微分同相写像（IPD）と定義する。
• 計量のリー微分が接ベクトル bundle 上の冪零自己準同型であるという条件により、Nil-Killingベクトル場を導入する。
• 計量のリー微分が冪零作用素であるようなベクトル場の有限次元リー代数としてNil-Killingリー代数を構成する。
• このようなベクトル場が、IPDの1パラメータ族を生成することを示し、そのフローの下で曲率不変量が不変であることを示す。
• 既知の $χ$-退化計量（例：中性符号）が、座標ベクトル場 $\partial_{v_i}$ で張られるアーベル的または可解的Nil-Killingリー代数を有することを示す。
• 座標変換と極限を用いて、計量のリー微分の冪零性がすべての点で成り立つことを証明し、関連作用素のグローバルな冪零性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Nil-Killingベクトル場の集合がリー代数をなすための条件は何か？
• RQ2 一般の擬リーマン空間は、少なくとも1つの非KillingなNil-Killingベクトル場を有するか？
• RQ3 非KillingなNil-Killingベクトル場の存在は、時空が $χ$-退化していることを示唆するか？
• RQ4 同一の曲率不変量を持つ2つの $χ$-退化計量が与えられたとき、それらは必ず同型な最大Nil-Killingリー代数を有するか？
• RQ5 Nil-Killingベクトル場がいつ $χ$-保存的微分同相写像（IPD）を生成するか？

主な発見

• 既知のすべての $χ$-退化した擬リーマン多様体、特にKillingベクトルが3つしかない4次元の中性符号計量でさえ、Nil-Killingベクトル場の推移的集合を有する。
• 計量 $ds^2 = 2du(dv + V du) + 2dU(dV + b v^4 dU)$ は、$\partial_u, \partial_v, \partial_U, \partial_V$ および $\xi_5 = -u\partial_u + v\partial_v - 2U\partial_U + 2V\partial_V$ を含む5次元可解Nil-Killingリー代数が存在することにより、CSIであることが示された。
• 各Nil-Killingベクトル場に沿った計量のリー微分は、冪零自己準同型であり、計量の微分のすべての多項式不変量が消えることを保証する。これは、フローの下で曲率不変量が不変であることを示唆する。
• 一般クラスの $χ$-退化計量におけるベクトル場 $\partial_{v_i}$ は、すべての曲率不変量を保存する平行移動を生成し、$O(p,q)$ の実ランクに等しい次元のアーベル的Nil-Killingリー代数を形成する。
• 極限 $\lim_{t\to\infty} \phi_t^* n_{ab} = 0$ により、作用素 $n_{ab}$ がすべての点で冪零であることが確認され、グローバルな冪零性条件が正当化される。
• 一般の $χ$-退化計量クラス（12）の構成により、$\mathcal{N} = \mathrm{span}\{\partial_{v_1}, \dots, \partial_{v_k}\}$ がNil-Killingリー代数であることが示され、このような空間を体系的に生成する方法が得られた。