[論文レビュー] On a Non-Standard Stochastic Control Problem

Ivar Ekeland, Traian A. Pirvu|ArXiv.org|Jun 25, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非指数的割引の下でのメルトンポートフォリオ最適化問題に取り組み、時間に依存しない好みを引き起こす。価値関数を積分方程式で定義することで均衡方策を導入し、CRRA効用のもとで解の存在と一意性を証明することで、従来の研究を一般の割引関数へと拡張した、新しい積分微分方程式フレームワークを提案する。

ABSTRACT

This paper considers the Merton portfolio management problem. We are concerned with non-exponential discounting of time and this leads to time inconsistencies of the decision maker. Following Ekeland and Pirvu 2006, we introduce the notion of equilibrium policies and we characterize them by an integral equation. The main idea is to come up with the value function in this context. If risk preferences are of CRRA type, the integral equation which characterizes the value function is shown to have a solution which leads to an equilibrium policy. This work is an extension of Ekeland and Pirvu 2006.

研究の動機と目的

• 非指数的割引によって引き起こされる、確率的ポートフォリオ最適化における時間的一致性の欠如を扱う。
• 先行研究[6]が扱った特別な割引のケースを超えて、均衡方策フレームワークを拡張する。
• 古典的HJB方程式を一般化する積分方程式を用いて、価値関数を特徴付ける。
• CRRA効用好みのもとで、均衡方策の存在と一意性を証明する。
• 異なる割引関数における均衡方策の数値的比較の基盤を提供する。

提案手法

• ブラウン運動によって駆動される無リスク資産とリスクのある株式を持つ連続時間におけるメルトンポートフォリオ問題の定式化。
• 可積分性および非負制約を満たす適切な投資・消費方策の定義。
• 将来の従順性を前提とした場合に、意思決定者が無限小の変更をしたくない方策として均衡方策を定義。
• 非定数割引と非局所項を組み込んだ積分方程式を用いて価値関数を導出。
• 非定数割引による時間的一致性の欠如に起因する非局所性を有するHJB方程式に類似した積分微分方程式との関係を確立。
• 指数的割引成分から導かれる1次元ODE系に問題を還元することで、CRRA好みのもとで解の存在と一意性を証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非指数的割引を伴う確率的制御問題において、どのように均衡方策を定義できるか？
• RQ2 一般の割引のもとで、均衡方策を特徴付ける価値関数の存在を保証する条件は何か？
• RQ3 先行研究が取り扱った特別な割引ケースを超えて、価値関数の積分方程式アプローチを拡張できるか？
• RQ4 積分方程式の定式化は、CRRA効用のもとで適切に定義された問題であり、一意解を持つのか？
• RQ5 非定数割引率が存在する場合、価値関数の構造は古典的HJB方程式とどのように異なるか？

主な発見

• 非標準的な確率的制御問題における価値関数は、古典的HJB方程式を一般化する積分方程式で特徴付けられる。
• 非定数割引に起因する非局所項を有する積分微分方程式に、積分方程式が等価であることが示された。
• CRRA効用好みのもとでは、積分方程式が1次元方程式に簡略化され、一意で滑らかな解を有する。
• 指数的割引成分から導かれる1次元ODE系に還元することで、CRRA好みのもとで積分方程式の解の存在と一意性が証明された。
• 一般の割引関数を指数関数の和で近似する際、解は安定しており、フレームワークの頑健性が保証された。
• このフレームワークにより、異なる割引関数における均衡方策の数値的取り扱いが可能となり、比較的分析が可能になった。