[論文レビュー] On an enhancement of the category of shifted L-infinity algebras

Vasily Dolgushev, Christopher L. Rogers|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、完全な降下フィルトレーションと「強化された」無限形準同型（Maurer-Cartan要素とねじれた準同型を含む）を備えたシフトされた $L_\infty$-代数を強化する対称モノイダル圏 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$ を導入する。この圏に倣った任意の圏は、Kan複体を写像空間とする単体的圏に統合可能であり、ホモトピー代数の $(\infty,1)$-圏の完全な単体的モデルを提供する。

ABSTRACT

We construct a symmetric monoidal category $LIE^{MC}$ whose objects are shifted L-infinity algebras equipped with a complete descending filtration. Morphisms of this category are "enhanced" infinity morphisms between shifted L-infinity algebras. We prove that any category enriched over $LIE^{MC}$ can be integrated to a simplicial category whose mapping spaces are Kan complexes. The advantage gained by using enhanced morphisms is that we can see much more of the simplicial world from the L-infinity algebra point of view. We use this construction in a subsequent paper to produce a simplicial model of a $(\infty,1)$-category whose objects are homotopy algebras of a fixed type.

研究の動機と目的

• シフトされた $L_\infty$-代数にフィルトレーションと強化された準同型を備えた対称モノイダル圏 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$ を構成すること。
• 標準的な $\infty$-準同型が自明な MC 要素を保存するという制限を克服し、単体的モデル化を制限する要因を除去すること。
• ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$-豊かにされた圏の単体的圏への統合を可能にし、写像空間を Kan 複体とする単体的圏を得ること。
• 今後の中での作業で、固定された型のホモトピー代数の $(\infty,1)$-圏の単体的モデルを提供すること。

提案手法

• ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$ の対象は、完全な降下フィルトレーションを備えたシフトされた $L_\infty$-代数である。
• 準同型は、$({\alpha}, F)$ のペアであり、${\alpha}$ はターゲットにおけるMaurer-Cartan 要素、$F$ はねじれた代数 ${\mathfrak{L}}^\alpha$ への連続な $\infty$-準同型である。
• この圏は、直和と拡張された $\infty$-準同型を用いて定義されるテンソル積を備えた対称モノイダル圏として構成される。
• ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$-豊かにされた圏の統合には、Getzler-Hinich の構成が適用される。
• 射影極限とシフト写像を用いて、${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$ から単体的集合への強モノイダル関手 $\mathfrak{MC}_\bullet$ が定義される。
• $\mathfrak{MC}_\bullet$ は合成と積を保存するため、写像空間が Kan 複体となることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シフトされた $L_\infty$-代数間の $\infty$-準同型を、自明な MC 要素を保存しないより一般の単体的写像をモデル化できるようにどのように強化できるか？
• RQ2 対称モノイダル圏としてのフィルター付きシフトされた $L_\infty$-代数の圏を構成できるか。そのような圏に豊かにされた圏は、Kan 複体を写像空間とする単体的圏に統合可能か？
• RQ3 Maurer-Cartan 要素とねじりの概念は、$L_\infty$-代数準同型の範囲を拡張し、完全な単体的ホモトピー型を捉えるために果たす役割は何か？
• RQ4 強化された準同型構造は、点 $\Delta^0$ からの単体的写像をどのようにモデル化可能にするか？
• RQ5 固定された型のホモトピー代数の圏は、${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$-豊かにされた圏としてモデル化可能か。その結果、その $(\infty,1)$-圏の単体的モデルが得られるか？

主な発見

• ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$ は、フィルター付きシフトされた $L_\infty$-代数と、MC 要素およびねじれた $\infty$-準同型を含む強化された準同型を備えた対称モノイダル圏として構成された。
• 強化された準同型により、自明な基点を保存しない単体的写像（例：$\Delta^0$ からの写像）をモデル化可能であり、${\mathrm{Hom}}_{{\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}}({\mathbf{0}}, L) \cong \mathrm{MC}(L)$ が成り立つ。
• $\mathfrak{MC}_\bullet$ は、${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$ から単体的集合への強モノイダル関手であり、豊かにされた圏の写像空間に Kan 複体を割り当てる。
• 強化された準同型の合成は $\mathfrak{MC}_\bullet$ 関手のもとで保存され、単体的構造が合成と整合的であることが保証される。
• この構成により、任意の ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$-豊かにされた圏が、写像空間が Kan 複体である単体的圏に統合可能である。
• これにより、固定された型のホモトピー代数の $(\infty,1)$-圏の単体的モデルが得られ、後続の研究で示された [3]。