[論文レビュー] On Antipodes Of Hom-Hopf algebras

Mohammad Hassanzadeh|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、畳み込みにおける恒等写像の相対的ホム逆元として定義を弱めた場合のホムホップ代数における反対元の性質を調査する。反対元は相対的ホム反代数的および反コ代数的準同型写像であることが示され、ねじれ写像が可逆であれば、真の反代数的および反コ代数的写像にまで拡張される。主な結果として、可換またはコ可換なホムホップ代数でねじれ写像が可逆である場合、$ S^2 = \mathrm{id} $ が成り立ち、古典的ホップ代数の性質が一般化される。

ABSTRACT

In the recent definition of Hom-Hopf algebras the antipode S is the relative Hominverse of the identity map with respect to the convolution product. We observe that some fundamental properties of the antipode of Hopf algebras and Hom-Hopf algebras, with the original definition, do not hold generally in the new setting. We show that the antipode is a relative Hom-anti algebra and a relative anti-coalgebra morphism. It is also relative Hom-unital, and relative Hom-counital. Furthermore if the twisting maps of multiplications and comultiplications are invertible then S is an anti-algebra and an anti-coalgebra map. We show that any Hom-bialgebra map between two Hom-Hopf algebras is a relative Hom-morphism of Hom-Hopf alegbras. Specially if the corresponding twisting maps are all invertible then it is a Hom-Hopf algebra map. If the Hom-Hopf algebra is commutative or cocommutative we observe that S^2 is equal to the identity map in some sense. At the end we study the images of primitive and group-like elements under the antipode.

研究の動機と目的

• 古典的ホップ代数における反対元の基本的性質が、相対的ホム逆元性を仮定した一般化されたホムホップ代数の設定でも保持されるかを調査すること。
• ユニタリティ、コユニタリティ、反準同型性の仮定を一切行わずに、相対的ホム逆元条件のみを仮定した場合に、反対元のどの性質が回復可能かを特定すること。
• 新しい定義の下で、可換およびコ可換なホムホップ代数における $ S^2 $ の振る舞いを調べること。
• この一般化された枠組みにおいて、原始的および群的元の反対元による作用を分析すること。

提案手法

• ホム双代数に、畳み込みにおける恒等写像の相対的ホム逆元としての写像 $ S $ を備えたホムホップ代数を定義する。すなわち、ある $ k \in \mathbb{N} $ に対して $ \alpha^k(S \star \mathrm{id}) = \alpha^k(\mathrm{id} \star S) = \eta \circ \varepsilon $ が成り立つこと。
• 畳み込みの恒等式とホム結合則／コ結合則の公理を用いて、$ S $ が相対的ホム反代数的および相対的ホム反コ代数的準同型写像であることを確立する。
• 相対的逆元条件とホム双代数の構造を活用して、$ S $ が相対的ホムユニタリおよび相対的ホムコユニタリであることを証明する。
• ねじれ写像 $ \alpha $ および $ \beta $ が可逆であるならば、$ S $ は真の反代数的および反コ代数的写像にまで拡張され、$ S \circ \alpha = \alpha \circ S $ が成り立つことを示す。
• 可換およびコ可換なホムホップ代数における $ S^2 $ の性質を分析する。$ S^2 $ が $ S $ に対しても相対的ホム逆元であることを示し、$ \alpha^{k+2} \circ S^2 \circ \beta^2 = \alpha^{k+2} \circ \mathrm{id} \circ \beta^2 $ に至ることを示す。
• 原始的および群的元に対する $ S $ の作用を調べる。相対的逆元条件を適用し、定義 $ \Delta(h) = 1 \otimes h + h \otimes 1 $ および $ \Delta(h) = h \otimes h $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的ホム逆元性によって定義されたホムホップ代数における反対元が、反代数的および反コ代数的準同型写像の性質を保持するか。
• RQ2 反対元が真の反代数的および反コ代数的写像にまでなる条件は何か。
• RQ3 古典的結果 $ S^2 = \mathrm{id} $ はホムホップ代数において回復可能か。もしそうならば、どのような仮定の下で成り立つか。
• RQ4 相対的ホム逆元設定下で、反対元は原始的および群的元にどのように作用するか。
• RQ5 ねじれ写像 $ \alpha $ および $ \beta $ と反対元の間にはどのような関係があるか。特に、これらが可逆である場合に注目する。

主な発見

• 反対元 $ S $ は、厳密な反準同型性の仮定がなくても、相対的ホム反代数的および相対的ホム反コ代数的準同型写像である。
• ねじれ写像 $ \alpha $ および $ \beta $ が可逆であるならば、$ S $ は真の反代数的および反コ代数的写像となり、$ S \circ \alpha = \alpha \circ S $ が成り立つ。
• ねじれ写像 $ \alpha $ および $ \beta $ が可逆な可換ホムホップ代数では、$ S^2 = \mathrm{id} $ が成り立つ。
• ねじれ写像 $ \alpha $ および $ \beta $ が可逆なのコ可換ホムホップ代数でも、$ S^2 = \mathrm{id} $ が成り立つ。
• 任意の原始的元 $ h $ に対して、ある $ k \in \mathbb{N} $ が存在し、$ \alpha^{k+1}(S(h)) = -\alpha^{k+1}(h) $ が成り立つ。
• 任意の群的元 $ h $ に対して、ある $ k \in \mathbb{N} $ が存在し、$ \alpha^k(S(h)h) = \alpha^k(hS(h)) = 1 $ が成り立ち、$ S(h) $ は $ h $ の相対的ホム逆元である。