[論文レビュー] On application of involutivity analysis of differential equations to constrained dynamical systems

Vladimir P. Gerdt, A. Khvedelidze+1 more|ArXiv.org|Nov 19, 2003

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、微分方程式系を包合的形に完成させるための計算的代数的手法である包合的解析を、特に有限次元の光円錐 $SU(2)$ Yang-Mills力学に適用して、制約付き力学系を研究している。完全な制約の集合を計算し、それらを第一種または第二種に分類することで、物理的ハミルトニアンへの体系的還元が可能となり、角運動量によって決定される結合定数を持つ共形力学系が得られる。

ABSTRACT

A brief sketch of computer methods of involutivity analysis of differential equations is presented in context of its application to study degenerate Lagrangian systems. We exemplify the approach by a detailed consideration of a finite-dimensional model, the so-called light-cone SU(2) Yang-Mills mechanics. All algorithms are realized in computer algebra system Maple.

研究の動機と目的

• 包合的完成に基づくアルゴリズム的手法の開発と適用により、退化したラグランジュ系の解析を行うこと。
• 制約付き力学系における制約を体系的に計算・分類し、第一種および第二種制約の区別を行うこと。
• 光円錐 $SU(2)$ Yang-Mills力学の力学を制約殻上の物理的ハミルトニアンに還元すること。
• 包合的手法が微分系における可積分性条件および隠れた制約を扱う上で有効であることを示すこと。

提案手法

• 微分方程式系を包合的形に変換するため、包合的単項式分割と完成アルゴリズムを用い、すべての可積分性条件が明示的に含まれるようにする。
• 退化ラグランジアンから導かれる $SU(2)$ Yang-Mills力学の有限次元モデルにこの手法を適用する。
• 正準変換により対角および角変数に変換し、運動量および制約を $q_a$, $p_a$, $\chi_a$, および $p_{\chi_a}$ の形で表現する。
• 第一種制約を除去するために $\overline{\psi}_i = N^a A^a_i = 0$ を用いたゲージ固定を実施する。
• 還元された制約を用いて全ハミルトニアンを制約殻上に射影し、簡略化された物理的ハミルトニアンを得る。
• すべてのアルゴリズムを実装し、記号的計算の検証を行うためにコンピュータ代数（Maple）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 包合的完成を、制約付き微分系における隠れた可積分性条件を特定・解決するために体系的に応用する方法は何か？
• RQ2 光円錐 $SU(2)$ Yang-Mills力学における完全な制約の集合は何か？ それらは第一種または第二種にどのように分類されるか？
• RQ3 包合的手法を用いて、系の力学を制約殻上の物理的ハミルトニアンに還元できるか？
• RQ4 還元されたハミルトニアンの構造は何か？ そして、共形力学のような既知の可積分系とどのように関係しているか？

主な発見

• 制約系は第一種および第二種制約の混合系であることが判明し、第一種制約 $\psi_i$ は正準的ゲージ固定により除去された。
• 還元後、残りの第二種制約は主軸変数において $p_1 = 0$, $p_3 = 0$, および $(q_1 \pm q_3)^2 = \pm g^2 \frac{\xi_2^R}{q_2}$ と表される。
• 制約殻上の還元ハミルトニアンは $H_{LC}^* = \frac{g^2}{2}\left(p_2^2 + \frac{\alpha}{q_2^2}\right)$ であり、ここで $\alpha = \frac{p_{\chi_3}^2}{4}$ である。
• 還元系は結合定数 $\alpha$ を持つ共形力学を記述しており、時間発展パラメータはゲージ結合定数 $g$ によってスケーリングされる。
• この手法は、隠れた可積分性条件を的確に同定・解決でき、解の一意性と整合性が保証された。