[論文レビュー] On Approximating the Number of $k$-cliques in Sublinear Time

Talya Eden, Dana Ron+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 50被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、次数、隣接頂点、ペアクエリを用いた、グラフ内の $k$-クリーク数の近似のためのサブリニア時間アルゴリズムを提示する。$(1+\epsilon)$-近似を得るための期待クエリおよび実行時間計算量は $O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}} + \frac{m^{k/2}}{C_k}\right) \cdot \text{poly}(\log n, 1/\epsilon, k)$ であり、対数的要因を除いて最適であり、$C_k = \omega(m^{k/2 - 1})$ のときサブリニアとなる。この手法は、高次元頂点の均一サンプリングと、高次元および低次元頂点を含むクリークのバランスの取れた推定を用いる、新しいサンプリング手順を導入する。

ABSTRACT

We study the problem of approximating the number of $k$-cliques in a graph when given query access to the graph. We consider the standard query model for general graphs via (1) degree queries, (2) neighbor queries and (3) pair queries. Let $n$ denote the number of vertices in the graph, $m$ the number of edges, and $C_k$ the number of $k$-cliques. We design an algorithm that outputs a $(1+\varepsilon)$-approximation (with high probability) for $C_k$, whose expected query complexity and running time are $O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}}+\frac{m^{k/2}}{C_k} ight)\poly(\log n,1/\varepsilon,k)$. Hence, the complexity of the algorithm is sublinear in the size of the graph for $C_k = ω(m^{k/2-1})$. Furthermore, we prove a lower bound showing that the query complexity of our algorithm is essentially optimal (up to the dependence on $\log n$, $1/\varepsilon$ and $k$). The previous results in this vein are by Feige (SICOMP 06) and by Goldreich and Ron (RSA 08) for edge counting ($k=2$) and by Eden et al. (FOCS 2015) for triangle counting ($k=3$). Our result matches the complexities of these results. The previous result by Eden et al. hinges on a certain amortization technique that works only for triangle counting, and does not generalize for larger cliques. We obtain a general algorithm that works for any $k\geq 3$ by designing a procedure that samples each $k$-clique incident to a given set $S$ of vertices with approximately equal probability. The primary difficulty is in finding cliques incident to purely high-degree vertices, since random sampling within neighbors has a low success probability. This is achieved by an algorithm that samples uniform random high degree vertices and a careful tradeoff between estimating cliques incident purely to high-degree vertices and those that include a low-degree vertex.

研究の動機と目的

• 一般のグラフにおける $k$-クリーク数の近似のためのサブリニア時間アルゴリズムの設計。
• 特に高次元頂点を含むクリークの効率的サンプリングの課題に取り組むこと。標準的なランダム隣接頂点サンプリングでは、成功確率が低いため失敗する。
• 三角形カウント（$k=3$）の既存のサブリニアアルゴリズムを、任意の $k \geq 3$ に一般化すること。
• $n$、$1/\epsilon$、$k$ の多対数的要因を除いて、ほぼ最適なクエリおよび実行時間計算量を達成すること。

提案手法

• サンプリングされた頂点の $c_k(u)$ の和を用いて、合計の $k$-クリーク数を推定するため、$\widetilde{O}(n / C_k^{1/k})$ のサイズの集合 $S$ における頂点の均一サンプリングを用いる。
• 各 $k$-クリークがほぼ等確率でサンプリングされるように保証する、新しいサンプリング手順を導入する。高次元頂点に注目し、高次元および低次元頂点を含むクリークのバランスを取る。
• 重要な要素として、均一なランダムな高次元頂点をサンプリングし、それらに接続するクリークを推定するアルゴリズムを提供する。高次元頂点のみを含むクリークと、少なくとも1つの低次元頂点を含むクリークの間のトレードオフを用いる。
• $C_k$ と $m$ の推定値に対する再帰的二重化戦略を用い、クエリの誤差と実行時間の制御が可能なブラックボックスサブルーチンを用いる。
• 初期の不正確さに強く対処できるように、$C_k$ と $m$ の推定値に対する幾何的探索を用いる。事前の知識に依存しない。
• 集中不等式と、$k$-クリーク分布と次数の閾値の構造を巧みに活用した、期待クエリおよび実行時間の正確な解析を通じて理論的保証を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角形カウント（$k=3$）のサブリニア時間近似を、一般のグラフにおける任意の $k$-クリークカウントに一般化できるか？
• RQ2 次数、隣接頂点、ペアクエリを用いた標準クエリモデルにおける $C_k$ の近似の最適クエリ複雑度は何か？
• RQ3 高次元頂点が原因で、ランダム隣接頂点サンプリングの成功確率が低い場合に、$k$-クリークのサンプリングを効率的に行う方法は何か？
• RQ4 高次元頂点に接続するクリークの推定と、低次元頂点を含むクリークの推定の間にはどのようなトレードオフがあるか？
• RQ5 提案されたアルゴリズムのクエリ複雑度は、$k$-クリーク近似において漸近的に最適か？

主な発見

• アルゴリズムは、高確率で $(1+\epsilon)$-近似を達成し、期待クエリ複雑度は $O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}} + \min\left\{\frac{m^{k/2}}{C_k}, m\right\} \right) \cdot \text{poly}(\log n, 1/\epsilon, k)$ である。
• 実行時間は $O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}} + \frac{m^{k/2}}{C_k}\right) \cdot \text{poly}(\log n, 1/\epsilon, k)$ であり、$C_k = \omega(m^{k/2 - 1})$ のときグラフサイズに対してサブリニアとなる。
• アルゴリズムのクエリ複雑度は、対数的および多項式的要因を除いて本質的に最適であり、下界 $\Omega\left(\frac{n}{C_k^{1/k}} + \min\left\{\frac{m^{k/2}}{C_k \cdot (c k)^k}, m\right\} \right)$ と一致する。
• 高次元および低次元頂点を含むクリークのバランスの取れた均一サンプリング戦略を導入することで、従来のアモアタイゼーション手法の制限を克服する。
• $C_k$ や $m$ が未知であっても、幾何的探索と中央値推定を用いることで、事前の知識がなくても正確な結果を得られる。
• 解析により、初期の $m$ および $C_k$ の推定値が不正確であっても、再帰的二重化と信頼性に基づく精密化戦略のおかげで、期待クエリおよび実行時間は常に提示された境界内に保たれることが示された。