[論文レビュー] On asymptotic base loci of relative anti-canonical divisors of algebraic fiber spaces

Sho Ejiri, Masataka Iwai+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、代数的ファイバー空間 $\phi: X \to Y$ における相対反標準除釈 $-K_{X/Y}$ の漸近的ベース・ロケイユを調査し、ベース・ロケイユおよび正性に関する解析的結果を代数的に確立する。増分および制限されたベース・ロケイユが空でない限り水平方向にあることを示し、Campana–Cao–Matsumuraの等式を代数的に証明するとともに、有限エタール基底変換を用いた半正則 $-K_{X/Y}$ に対する積構造の予想を部分的に確認する。

ABSTRACT

In this paper, we study the relative anti-canonical divisor $-K_{X/Y}$ of an algebraic fiber space $ϕ: X o Y$, and we reveal relations among positivity conditions of $-K_{X/Y}$, certain flatness of direct image sheaves, and variants of the base loci including the stable (augmented, restricted) base loci and upper level sets of Lelong numbers. This paper contains three main results: The first result says that all the above base loci are located in the horizontal direction unless they are empty. The second result is an algebraic proof for Campana--Cao--Matsumura's equality on Hacon--$ m{M^c}$Kernan's question, whose original proof depends on analytics methods. The third result partially solves the question which asks whether algebraic fiber spaces with semi-ample relative anti-canonical divisor actually have a product structure via the base change by an appropriate finite étale cover of $Y$. Our proof is based on algebraic as well as analytic methods for positivity of direct image sheaves.

研究の動機と目的

• 代数的ファイバー空間における相対反標準除釈 $-K_{X/Y}$ の正性条件が引き起こす幾何的制約を理解すること。
• 特にCampana–Cao–Matsumuraの等式を含め、ベース・ロケイユに関する解析的結果の代数的証明を確立すること。
• 半正則な相対反標準除釈 $-K_{X/Y}$ が、有限エタール基底変換の後で $X$ が積構造に双有理同型であるかどうかを調査すること。
• 漸近的ベース・ロケイユ（増分、制限、安定）、Lelong数、および直接像層の平坦性の間の関係を明確にすること。

提案手法

• 安定、増分、制限ベース・ロケイユを含む、$-K_{X/Y}$ の漸近的ベース・ロケイユを分析する代数的技法を用いる。
• 特に特異ヘルミート計量と曲率推定を用いた直接像層の正性理論を適用する。
• 標準的特異特異計量と曲率正性を用いて、ファイバー上でのベース・ロケイユの挙動を制御する。
• Lelong数や数的次元などの解析的道具（例：Lelong数、数的次元）を代数的幾何と組み合わせ、平坦性および自明性を研究する。
• kltおよびlc対の構造を用いて、滑らかでない多様体へも一般化された結果を得る。
• 拡張定理およびコホホロジーの消滅を用いて、グローバル生成性とベース・ロケイユの制御を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 増分ベース・ロケイユ $\mathbb{B}_+(-K_{X/Y})$ および制限ベース・ロケイユ $\mathbb{B}_-(-K_{X/Y})$ が水平方向に含まれる条件は何か？
• RQ2 Campana–Cao–Matsumuraのベース・ロケイユに関する等式を、解析的手法を用いずに代数的に証明できるか？
• RQ3 半正則な相対反標準除釈 $-K_{X/Y}$ が、有限エタール基底変換の後で $X$ が $Y' \times F$（あるファイバー $F$）と双有理同型であることを示唆するか？
• RQ4 Lelong数および数的平坦性は、直接像層 $\phi_*\mathcal{O}_X(m(-K_{X/Y}))$ の平坦性とどのように関係するか？
• RQ5 多様体 $X$ が klt 特異点ではなく lc 特異点を持つ場合、ベース・ロケイユの挙動はいかなるものか？

主な発見

• 増分ベース・ロケイユ $\mathbb{B}_+(-K_{X/Y})$ は空または $Y$ に支配的であり、$\dim Y > 0$ ならば $\dim \mathbb{B}_+(-K_{X/Y}) \geq \dim Y$ が成り立つ。
• Campana–Cao–Matsumuraの等式に対して代数的証明が与えられ、当初解析的手法で示された疑問が解決された。
• lc 対 $(X, \Delta)$ に対して、$\mathbb{B}_+(-(K_{X/Y} + \Delta))$ は $Y$ に支配的であるか、$Y$ が点である場合を除いて空でない。
• 制限ベース・ロケイユ $\mathbb{B}_-(-K_{X/Y})$ も水平方向に含まれており、非空であるとファイバーの幾何的制約が生じる。
• もし $-K_{X/Y}$ が半正則であれば、有限エタール基底変換の後で $X$ はあるファイバー $F$ に対して $Y' \times F$ と双有理同型である。
• 特定の正性条件の下で、直接像層 $\phi_*\mathcal{O}_X(m(-K_{X/Y}))$ は数的平坦であることが示され、エタール意味での平坦性を示唆する。