[論文レビュー] Projective klt pairs with nef anti-canonical divisor

Frédéric Campana, Junyan Cao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、ネフな反標準因子 $-(K_X + \Delta)$ を持つ射影的 klt 対 $(X,\Delta)$ に対して、最大有理的接続性（MRC）線形系における反標準因子の数的次元が保存されることを確立している。すなわち、一般の纤维 $X_y$ に対して $\mathrm{nd}(-(K_X + \Delta)) = \mathrm{nd}(-(K_{X_y} + \Delta_{X_y}))$ が成り立つ。この結果は、Ejiri-Gongyo のコホモロジー次元に関する研究を一般化し、Hacon-M^c Kernan の問題をより強い数的形で解決する。さらに、Cao-Höring の構造定理を klt 対へ拡張し、MRC 線形系が数的自明な標準因子を持つ滑らかな多様体への準同型写像であり、局所的に自明な構造を持つことを示している。

ABSTRACT

In this paper, we study a projective klt pair $(X, Δ)$ with the nef anti-log canonical divisor $-(K_X+Δ)$ and its maximally rationally connected fibration $ψ: X \dashrightarrow Y$. We prove that the numerical dimension of the anti-log canonical divisor $-(K_X+Δ)$ on $X$ coincides with that of the anti-log canonical divisor $-(K_{X_y}+Δ_{X_y})$ on a general fiber $X_y$ of $ψ: X \dashrightarrow Y$, which is an analogue of Ejiri-Gongyo's result formulated for the Kodaira dimension. As a corollary, we reveal a relation between positivity of the anti-canonical divisor and the rational connectedness, which gives a sharper estimate than the question posed by Hacon-$\mathrm{M^{c}}$Kernan. Moreover, in the case of $X$ being smooth, we show that a maximally rationally connected fibration $ψ: X o Y$ can be chosen to be a morphism to a smooth projective variety $Y$ with numerically trivial canonical divisor, and further that it is locally trivial with respect to the pair $(X, Δ)$, which can be seen as a generalization of Cao-Höring's structure theorem to klt pair cases. Finally, we study the structure of the slope rationally connected quotient for a pair $(X, Δ)$ with $-(K_X +Δ)$ nef, and obtain a structure theorem for projective orbifold surfaces.

研究の動機と目的

• ネフな反標準因子を持つ滑らかな多様体に対する Cao-Höring の構造定理を、射影的 klt 対の状況に一般化すること。
• Hacon-M^c Kernan が提起した、$-(K_X + \Delta)$ の正性と有理的接続性の関係に関する問題を、コホモロジー次元の代わりに数的次元に置き換えることで解決すること。
• ネフな反標準因子を持つ射影的オルビフォールド表面のスロープ有理的接続性（sRC）商の構造定理を確立すること。
• klt 対 $(X,\Delta)$ に対して $-(K_X + \Delta)$ がネフであるとき、その MRC 線形系が、数的自明な標準因子を持つ滑らかで射影的な多様体 $Y$ への準同型写像であることを示すこと。

提案手法

• 特異ヘルミート計量と数的平坦性を用いた、ネフな相対反標準因子の直接像層の正性性質の利用。
• 数的平坦ベクトル束および平坦束の切断の理論を応用し、数的次元を制御すること。
• 特異点の解消と、全空間と纤维上の数的類を比較するための除数の引き戻しの構成。
• MRC 線形系を有理写像として扱い、標準的特異点解消技術により、それを準同型写像に変換すること。
• オルビフォールドのスロープ有理的接続性（sRC）商の導入と分析を行い、ネフな反標準因子を持つ対の構造を研究すること。
• 正のカレントの極限と、$\beta \to 0^+$ における数的類の漸近的挙動を用いて、数的同値関係を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 klt 対 $(X,\Delta)$ に対して $-(K_X + \Delta)$ がネフであるとき、その反標準因子の数的次元は MRC 線形系においても保存されるか？
• RQ2 Cao-Höring が滑らかな多様体に対して示した構造定理は、klt 対へ拡張可能か？
• RQ3 ネフな反標準因子を持つ射影的オルビフォールド表面に対して、スロープ有理的接続性（sRC）商の構造はいかなるものか？
• RQ4 MRC 線形系における纤维の有理的接続性と、$-(K_X + \Delta)$ の正性の関係は何か？

主な発見

• MRC 線形系の一般纤维 $X_y$ に対して、$X$ 上の $-(K_X + \Delta)$ の数的次元と $X_y$ 上の $-(K_{X_y} + \Delta_{X_y})$ の数的次元が等しく、$\mathrm{nd}(-(K_X + \Delta)) = \mathrm{nd}(-(K_{X_y} + \Delta_{X_y}))$ が成り立つ。
• MRC 線形系 $\psi: X \dashrightarrow Y$ は、$X$ が滑らかであれば、$K_Y$ が数的自明な滑らかな射影的多様体 $Y$ への準同型写像として選べる。
• この線形系は、対 $(X,\Delta)$ に関して局所的に自明であり、Cao-Höring の結果を klt 対へ一般化している。
• ネフな反標準因子を持つ射影的オルビフォールド表面に対して、sRC 商は数的自明な標準因子を持つ滑らかなオルビフォールドであり、分岐除数が適切に制御されている。
• 底面の標準除数の引き戻しは、$f^*(K_Z + D_Z) \equiv \text{有効除数} - \text{有効除数} + \text{極限クラス}$ を満たし、一般の曲線との交点数が消える。
• 証明により、一般の曲線 $C'$ に対して $C' \cdot f^*(K_Z + D_Z) = 0$ が成り立ち、仮定のもとで $f^*(K_Z + D_Z)$ が纤维上で数的自明であることが示される。