[論文レビュー] On automorphisms of blowups of $\mathbb{P}^3$

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{P}^3$ の有限次ブLOWUP における自己同型を調査し、広範なクラスのこのような空間に対して、自己同型の第一および第二 Dynamical degree が等しい（$\lambda_1(f) = \lambda_2(f)$）こと、および自己同型群が有限個の連結成分しか持たないことを証明する。幾何的制約を用いて、ブLOWUP の中心に着目することで、動的剛性を強制し、すべての自己同型がゼロの位相的エントロピーを持つ明示的例を構成する。

ABSTRACT

Let $π:X ightarrow \mathbb{P}^3$ be a finite composition of blowups along smooth centers. We show that for "almost all" of such $X$, if $f\in Aut(X)$ then its first and second dynamical degrees are the same. We also construct many examples of finite blowups $X ightarrow \mathbb{P}^3$, whose automorphism group $Aut(X)$ has only finitely many connected components. We also present a heuristic argument showing that for a "generic" compact Kähler manifold $X$ of dimension $\geq 3$, the automorphism group $Aut(X)$ has only finitely many connected components.

研究の動機と目的

• $\\mathbb{P}^3$ の有限次ブLOWUP における自己同型の Dynamical degree と位相的エントロピーを分析すること。
• ブLOWUP の中心に課す幾何的条件を同定し、それらが自己同型の位相的エントロピーをゼロに保証すること。
• こうしたブLOWUP の広範なクラスに対して、自己同型群が有限個の連結成分しか持たないことを証明すること。
• 次元 $\\geq 3$ の一般のコンpakto Kähler多様体が有限連結成分の自己同型群を持つというヒューリスティックを提示すること。

提案手法

• 曲線 $C$ に対して $c_1(X_j).C \neq 2(g-1)$ である条件を用いて、$\lambda_1(f) = \lambda_2(f)$ の等式を保証する。
• 連続するブLOWUP に二つの異なる幾何的制約を適用する：$\gamma = c_1(X_j).C + 2g - 2 < 0$ または $2\kappa < \mu\gamma$ で $\kappa = S.C$, $\mu =$ 重複度 であり、これにより $\lambda_1(f) = \lambda_2(f) = 1$ を強制する。
• Gromov-Yomdin 定理を用いて、Dynamical degree が 1 である場合、位相的エントロピーがゼロであると結論づける。
• 一般位置にある点および曲線のブLOWUP を用いて明示的例を構成し、各段階で条件を満たすようにする。
• 類似のコホモロジー的および交線論的議論を用いて、曲線がその類の中で一意的でないことを検証し、定理 2 の条件 2) を満たす。
• Bayraktar-Cantat [2] の証明技法を有限個の点のブLOWUP に適用し、$Aut(X)$ の連結成分が有限個であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^3$ のブLOWUP の中心にどのような条件が課されると、その結果得られる空間の自己同型が第一および第二 Dynamical degree を等しくするか？
• RQ2 どのような条件下で $\mathbb{P}^3$ の有限次ブLOWUP が、自己同型群に有限個の連結成分しか持たないか？
• RQ3 曲線に課す幾何的制約（例：$\gamma < 0$ または $2\kappa < \mu\gamma$）が、すべての自己同型に対してゼロの位相的エントロピーを保証できるか？
• RQ4 一般位置の仮定の下で、$\mathbb{P}^3$ のブLOWUP における自己同型の第一および第二 Dynamical degree はどのように振る舞うか？
• RQ5 これらの結果は、$\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^1$ のような他の空間へどの程度一般化できるか？

主な発見

• $\mathbb{P}^3$ の点または曲線に沿ったブLOWUP において、$c_1(X_j).C \neq 2(g-1)$ であれば、すべての自己同型が $\lambda_1(f) = \lambda_2(f)$ を満たす。
• 定理 2 の条件 2) や 3) を満たすブLOWUP では、すべての自己同型が $\lambda_1(f) = \lambda_2(f) = 1$ を満たし、これにより位相的エントロピーがゼロである。
• コロナリー 1 の条件を満たすブLOWUP では、自己同型群 $Aut(X)$ は有限個の連結成分しか持たない。
• 明示的例として、一般位置にある点および曲線のブLOWUP により、$\lambda_1(f) = \lambda_2(f) = 1$ となる例を構成した。
• 例 6 の曲線 $\widetilde{\Sigma_{0,1}}$ は $c_1(Y).C + 2g - 2 = 0$ を満たすため、条件 2) は適用されないが、依然として定理 2 の条件 3) を満たしている。
• $d \geq 2$ に対して、$\mathbb{P}^3$ のブLOWUP における次数 $d$ の曲線の厳密変形は $2\kappa < \mu\gamma$ を満たし、これにより $\lambda_1(f) = \lambda_2(f) = 1$ が保証される。