[論文レビュー] On automorphisms of blowups of projective manifolds

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次元 ≥3 の射影多様体のブローアップの自己同型を調査し、その自己同型がゼロの位相的エントロピーを持つ条件に焦点を当てる。ネフコホロロジー類の非消滅条件を用いて、ピカール数 1、ファノ、またはハイパーケーラー構造を持つ多様体の有限回のブローアップに対して、特に中心が dim(X₀)−2 以下の次元である場合には、任意の自己同型はゼロエントロピーであるか、あるいはコホロロジー的に双曲的であることが示され、このような多様体の新しい例が得られる。

ABSTRACT

In this paper we mainly study the following question: For what projective manifold $X$ of dimension $\geq 3$ that any $f\in Aut(X)$ has zero topological entropy? Using some non-vanishing conditions on nef cohomology classes, we study the case where $X ightarrow X_0$ is a finite blowup along smooth centers, here $X_0$ is a projective manifold of interest. Here we allow $X_0$ to be either one of the following manifolds: it has Picard number 1, or a Fano manifold, or it is a projective hyper-Kähler manifold. We also allow the centers of blowups to have large dimensions relative to that of $X_0$ (may be upto $dim(X_0)-2$). Explicit constructions are given in Section ef{SectionBlowupsAndNonVanishingConditions}, where we also show that the assumptions in the results in that section are necessary (see Example 6 in Section ef{SectionBlowupsAndNonVanishingConditions}). As a consequence, we obtain new examples of manifolds $X$, whose any automorphism is either of zero topological entropy or is cohomologically hyperbolic.

研究の動機と目的

• 次元 ≥3 の射影多様体 X に対して、すべての自己同型がゼロの位相的エントロピーを持つのはどのような場合かを特定すること。
• X₀ がファノ、ピカール数 1、またはハイパーケーラー多様体である場合に、滑らかな中心に沿った有限回のブローアップにおける自己同型の振る舞いを分析すること。
• 自己同型がゼロエントロピーまたはコホロロジー的に双曲的であるための必要十分条件を、ネフコホロロジー類の非消滅に基づいて確立すること。
• 定理の仮定が必要であることを示す明示的な例を構成し、結果の鋭さを示すこと。

提案手法

• Gromov-Yomdin の定理を用いて位相的エントロピーと第一力学的次数 λ₁(f) を関連させ、h_top(f) > 0 であることはかつて λ₁(f) > 1 であることと同値であることを示す。
• ネフコホロロジー類に対する非消滅条件 A(r,0) および B(r,0) を適用し、自己同型がコホロロジー上に与える作用を制約する。
• H^{1,1}(X) 上での引き戻し作用 f* を分析し、力学的次数の対数的凹性を用いてスペクトル半径の制約を導出する。
• ブローアップにおけるペアノ・デュアルティーおよび交線論を用いて、ネフ類 ζ に対してカップ積 ζ^{k-1} および ζ^{k-2} の非退化性を研究する。
• 第 2 節で明示的な例を構成し、定理の仮定が必要であることを示す。dim(V) = 0,1,2,3 の場合を含む。
• ハイパーケーラー多様体における Verbitsky の結果（ζ^l の非退化性）を用いて、0 ≤ p ≤ l に対して λ_p(f) = λ₁(f)^p を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影多様体 X₀ に対して、その有限回のブローアップ X → X₀ のすべての自己同型がゼロの位相的エントロピーを持つのはどのような条件下か？
• RQ2 ネフコホロロジー類の非消滅条件（例：A(r,0), B(r,0)）は、ブローアップにおける自己同型の力学的次数にどのように制約を加えるか？
• RQ3 ファノ、ピカール数 1、またはハイパーケーラー多様体の有限回のブローアップにおいて、正のエントロピーをもつ自己同型が存在するか？もしあるなら、どのような幾何的条件下か？
• RQ4 ブローアップの中心の次元が、自己同型がゼロエントロピーまたは正のエントロピーを持つかどうかを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 ネフ類 ζ に対して ζ^{k-1} が非消滅であることを用いて、λ₁(f) = 1 かつしたがって h_top(f) = 0 を証明できるか？

主な発見

• ピカール数 1、ファノ、またはハイパーケーラー構造を持つ射影多様体 X₀ の有限回のブローアップに対して、r = k−l−3 のとき非消滅条件 A(r,0) が成り立つならば、任意の自己同型 f に対して h_top(f) = 0 である。
• ブローアップの中心の次元が dim(X₀)−2 以下であるとき、非消滅条件 B(0,0) が λ₁(f) = 1 を保証するため、h_top(f) = 0 である。
• 第 2 節の明示的例により、主要定理の仮定が必要であることが示され、dim(V) ≤ 3 のとき、方程式系 f(b) = 0 および g(b) = 0 は解を持たない。
• 次元 2l のハイパーケーラー多様体に対して、ζ ∈ H^{1,1}_{nef} が非ゼロで ζ^l ≠ 0 ならば、0 ≤ p ≤ l に対して λ_p(f) = λ₁(f)^p であり、λ₁(f) = λ₁(f⁻¹) であるため、ζ が無理数的でない限り λ₁(f) = 1 である。
• X₀ におけるネフ類 ζ に対して ζ^{k−1} が非消滅であるならば、交線の写像が一般に働くものと仮定すれば、λ₁(f) = 1 であるため h_top(f) = 0 である。
• 本稿では、すべての自己同型がゼロの位相的エントロピーであるか、あるいはコホロロジー的に双曲的であるような多様体 X の新しい例を構成し、既知の結果を高次元に拡張している。