[論文レビュー] On Calabi's extremal metric and properness

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Chen-Chengによる定スカラー曲率ケーラー計量に関する発見的進展を、Calabiの極値計量へと拡張し、極値計量が存在するための必要十分条件として、修正されたMabuchi汎関数が極値ベクトル場の中心化群に関して適切であることを証明する。著者らは、再帰的適切性と縮約的適切性という2つの同等な条件を導入し、修正されたMabuchi汎関数の適切性が、不変計量上でのテストが可能であることを示し、極値計量の存在とこれらの適切性条件との同値性を確立する。

ABSTRACT

In this paper we extend recent breakthrough of Chen-Cheng \cite{CC1, CC2, CC3} on existence of constant scalar Kähler metric on a compact Kähler manifold to Calabi's extremal metric. Our argument follows \cite{CC3} and there are no new a prior estimates needed, but rather there are necessary modifications adapted to the extremal case. We prove that there exists an extremal metric with extremal vector $V$ if and only if the modified Mabuchi energy is proper, modulo the action the subgroup in the identity component of automorphism group which commutes with the flow of $V$. We introduce two essentially equivalent notions, called \emph{reductive properness} and \emph{reduced properness}. We observe that one can test reductive properness/reduced properness only for invariant metrics. We prove that existence of an extremal metric is equivalent to reductive properness/reduced properness of the modified Mabuchi energy.

研究の動機と目的

• 定スカラー曲率ケーラー計量の Chen-Cheng の存在結果を、Calabi の極値計量へと拡張すること。
• 極値計量の存在を特徴付ける、修正された Mabuchi 汎関数の適切性基準を確立すること。
• 修正された Mabuchi 汎関数の適切性をテストするための2つの同等な概念、再帰的適切性と縮約的適切性を導入し、それらの分析を行うこと。
• 修正された Mabuchi 汎関数の適切性が、極値ベクトル場の中心化群の作用下での不変計量上でのみテスト可能であることを示すこと。
• 極値計量の存在が、修正された Mabuchi 汎関数の再帰的適切性または縮約的適切性と同値であることを証明すること。

提案手法

• 定スカラー曲率計量に対する Chen-Cheng の証明戦略を、極値計量の場合に適応するが、新たな事前推定を必要としない。
• 極値ベクトル場 $V$ に関する修正された Mabuchi 汎関数 ${\mathcal{K}}_X$ を定義し、スカラー曲率が定数でない設定に合わせてエネルギー汎関数を調整する。
• 群 $G$ に関する $G$-不変性を定義し、$G$ は $V$ のフローと可換な自己同型群の単位成分である。$d_{1,G}$-距離を $G$-軌道上の下界として定義する。
• 修正された Mabuchi 汎関数の $d_1$-測地線に沿った凸性と、Darvas の理論によるケーラー潜在関数の空間 ${\mathcal{H}}$ の幾何的完備化を利用する。
• 複素ポテンシャル理論からのコンパクトネス結果と ${\mathcal{H}}$ の幾何的完備化を用いて、エネルギーが有界で $d_1$-距離が発散する列の極限点を抽出する。
• 修正された Mabuchi 汎関数が適切でない場合、エネルギーがゼロとなる極限計量を構成でき、これは $G$ による極値計量への推移的作用と矛盾する。これにより適切性が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトケーラー多様体が Calabi の極値計量を持つための条件は何か？
• RQ2 修正された Mabuchi 汎関数の適切性と極値計量の存在との関係は何か？
• RQ3 修正された Mabuchi 汎関数の適切性条件は、極値ベクトル場の中心化群の作用下での不変計量上で効果的にテスト可能か？
• RQ4 再帰的適切性と縮約的適切性の関係は、極値計量の文脈でどのように特徴づけられるか？
• RQ5 極値計量が存在するための必要十分条件として、修正された Mabuchi 汎関数が適切であると言えるか？

主な発見

• コンパクトケーラー多様体に極値計量が存在するための必要十分条件は、極値ベクトル場 $V$ のフローと可換な $\text{Aut}_0(M)$ の部分群による作用に関して、修正された Mabuchi 汎関数が適切であることである。
• 再帰的適切性と縮約的適切性は、極値計量の存在を特徴付ける2つの同等な概念である。
• 修正された Mabuchi 汎関数の適切性は、$G$ が $\text{Aut}_0(M)$ 内の $V$ の中心化群であるとき、$G$-不変計量上でのみテスト可能である。
• 修正された Mabuchi 汎関数には下界が存在する：${\mathcal{K}}_X(\phi) \geq C d_{1,G}(0,\phi) - D$（$C,D > 0$）。この不等式が適切性を特徴付ける。
• 極値計量が存在することは、修正された Mabuchi 汎関数が $d_{1,G}$-適切であることを示す。これは測地線の極限とエネルギーの減少を用いた背理法により示される。
• 証明は、修正された Mabuchi 汎関数の $d_1$-測地線に沿った凸性と、ケーラー潜在関数の空間の幾何的完備化におけるコンパクトネスに依拠している。