[論文レビュー] On Characteristic Polynomials of the Family of Cobweb Posets

Ewa Krot-Sieniawska|ArXiv.org|Feb 19, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、自然数の列 {Fₙ} によって定義される階級付きposetの一種である有限コブレブposetの特徴多項式の明示的公式と再帰的関係を導出する。モビウス関数と第一種ウィットニー数を活用することで、特徴多項式 χₙ(t) が直前の段階の積 ∏(Fᵢ−1) によって決定されることを確立し、任意のこのようなposet族に対して閉形式の表現と再帰的構成が得られる。

ABSTRACT

This note is a response to one of problems posed by A.K. Kwasniewski in one of his recent papers. Namely for the sequence of finite cobweb subposets, the looked for explicit formulas for corresponding sequence of characteristic polynomials are discovered and delivered here. The recurrence relation defining arbitrary family of charactristic polynomials of finite cobweb posets is also derived.

研究の動機と目的

• A.K. クワシニェフスキーが提起した有限コブレブ部分poset {Pₙ} の特徴多項式に関する問題を解決すること。
• コブレブposet族に関連する特徴多項式の列 {χₙ(t)} に対する明示的閉形式表現を導出すること。
• 任意のコブレブposetが自然数列 {Fₙ} によって生成される場合に、列 {χₙ(t)} を定義する再帰的関係を確立すること。
• フィボナッチコブレブposetにおけるモビウス関数およびウィットニー数に関する既知の結果を、任意の自然数列 {Fₙ} によって定義されるコブレブposet全般に一般化すること。

提案手法

• コブレブposetの要素 x におけるモビウス関数 μ(0,x) はランク r(x) のみに依存し、μ(r(x)) = (−1)^r(x) × ∏ᵢ₌₁^{r(x)−1} (Fᵢ − 1) と表される。
• ウィットニー数の第一種 wₖ(Pₙ) は wₖ(Pₙ) = Fₖ × μ(k) として計算され、ここで Fₖ は段階 k のサイズを表す。
• 特徴多項式 χₙ(t) は χₙ(t) = ∑ₖ₌₀ⁿ wₖ(Pₙ) × t^{n−k} として構成され、これにより明示的公式 χₙ(t) = tⁿ + ∑ₖ₌₁ⁿ (−1)^k Fₖ × ∏ᵢ₌₁^{k−1} (Fᵢ − 1) × t^{n−k} が得られる。
• 再帰的関係として、χ₀(t) = 1、χ₁(t) = t − F₁、および n ≥ 2 のとき χₙ(t) = tχₙ₋₁(t) + (−1)^n Fₙ × ∏ᵢ₌₁^{n−1} (Fᵢ − 1) が導出される。
• 異なる列 {Fₙ} を用いた例を通じて結果の妥当性が検証され、これには Fₙ = n+1、Fₙ = 2n+1（F₁=1）、および定数列 Fₙ = k > 1 が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数列 {Fₙ} によって生成される有限コブレブposet Pₙ の特徴多項式 χₙ(t) の明示的形は何か？
• RQ2 任意のコブレブposetに対して、列 {χₙ(t)} はどのように再帰的に定義できるか？
• RQ3 モビウス関数およびウィットニー数は、poset Pₙ の特徴多項式を決定するために果たす役割は何か？
• RQ4 どのような条件下で χₙ(t) が tⁿ − tⁿ⁻¹ のような閉形式に簡略化されるか？

主な発見

• コブレブposet Pₙ の特徴多項式 χₙ(t) は明示的に χₙ(t) = tⁿ + ∑ₖ₌₁ⁿ (−1)^k Fₖ × ∏ᵢ₌₁^{k−1} (Fᵢ − 1) × t^{n−k} と与えられる。
• F₁ = 1 のとき、すべての n ≥ 1 に対して特徴多項式は χₙ(t) = tⁿ − tⁿ⁻¹ に簡略化される。ただし χ₀(t) = 1 である。
• 再帰的関係として、n ≥ 2 のとき χₙ(t) = tχₙ₋₁(t) + (−1)^n Fₙ × ∏ᵢ₌₁^{n−1} (Fᵢ − 1) が確立され、初期条件は χ₀(t) = 1 および χ₁(t) = t − F₁ である。
• Fₙ = k > 1（定数列）の場合、特徴多項式は χₙ(t) = ∑ᵢ₌₀ⁿ (−1)^i k(k−1)^{i−1} t^{n−i}（i ≥ 1）と表され、χ₀(t) = 1 である。
• ウィットニー数の第一種 wₖ(Π) の公式は、k > 0 のとき wₖ(Π) = (−1)^k Fₖ ∏ᵢ₌₁^{k−1} (Fᵢ − 1) であり、w₀(Π) = 1 である。
• 本研究の結果は、フィボナッチコブレブposetに関する既存の知見を一般化し、任意の自然数列 {Fₙ} によって定義されるコブレブposet全般に拡張する。