[論文レビュー] On $(\chi,b)$-factors of Cuspidal Automorphic Representations of Unitary Groups I

Dihua Jiang, Chenyan Wu|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ユニタリ群の尖型自己形式的表現に対する新しい周期積分の族を導入し、それらの極が、theta対応およびエンデスコピック分類を介して、全局的アーチュールパラメータψσにおける単純なグローバルアーチュールパラメータ(χ, b)の出現と関連することを示す。主な結果は、特定の周期積分の非消滅が、ψσにおける(χ, b)の最初の出現を検出することを確立しており、従来の正規直交群に関する研究をユニタリ群へ一般化したものであり、精緻なtheta対応およびEisenstein級数の正則化を用いている。

ABSTRACT

Following the idea of [GJS09] for orthogonal groups, we introduce a new family of period integrals for cuspidal automorphic representations $\sigma$ of unitary groups and investigate their relation with the occurrence of a simple global Arthur parameter $(\chi,b)$ in the global Arthur parameter $\psi_\sigma$ associated to $\sigma$, by the endoscopic classification of Arthur ([Art13], [Mok13], [KMSW14]). The argument uses the theory of theta correspondence. This can be viewed as a part of the $(\chi,b)$-theory outlined in [Jia14] and can be regarded as a refinement of the theory of theta correspondences and poles of certain $L$-functions, which was outlined in [Ral91].

研究の動機と目的

• 正規直交群からユニタリ群へ、アーチュールパラメータの出現を検出する周期積分理論を拡張すること。
• ユニタリ群の尖型自己形式的表現σに対する、L関数L(s, σ × χ)の極と、ψσにおけるグローバルアーチュールパラメータ(χ, b)との関係を確立するフレームワークを構築すること。
• ユニタリ群の非分解性を考慮した、従来の直交群の構成に起因する制限を克服する新しい周期積分族を開発すること。
• アーチュールのエンデスコピック分類およびtheta対応を用いて、ユニタリ群の文脈におけるL関数の極と非消滅の理論を精緻化すること。

提案手法

• LiによるEisenstein級数のフーリエ係数に関する研究にインspiredされ、直接的なフーリエ係数の計算を用いて、ユニタリ群に対する新しい周期積分族を導入する。
• theta対応の理論を適用し、周期積分の非消滅がψσにおける(χ, b)の最初の出現と関連することを示す。
• アーチュールのエンデスコピック分類を用いて、グローバルアーチュールパラメータψσを解釈し、(χ, b)が部分表現として現れる条件を特定する。
• アーチュール切断を用いて周期積分を正則化し、特に尖型補題χ ⊗ σを持つEisenstein級数の留数において収束を保証する。
• 非可換構造と先行研究の結果を用いて、特定の部分群R₀₁における周期積分の絶対収束を分析する。
• theta上りのフーリエ係数を用いて消滅行動を検出し、非消滅が最初の出現が実現されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして周期積分を、ユニタリ群の文脈におけるグローバルアーチュールパラメータψσにおける単純なグローバルアーチュールパラメータ(χ, b)の出現を検出できるように適応できるか？
• RQ2 L(s, σ × χ)の極と、ユニタリ群の尖型自己形式的表現σにおけるψσにおける(χ, b)の最初の出現との間の明確な関係は何か？
• RQ3 theta対応およびEisenstein級数の理論を用いて、特にF-分解でない場合の目標群において、(χ, b)の最初の出現をどのように検出できるか？
• RQ4 部分空間Zおよびアニュリスティック空間Y₀にどのような構造的条件を課すと、周期積分の絶対収束性および非消滅性が保証されるか？
• RQ5 theta上りの特定のフーリエ係数の消滅が、ψσにおける(χ, b)の最初の出現にどのような制約をもたらすか？

主な発見

• 周期積分∫_{[G(Z)]} f(g)θψF,χ1,χ2,X,Y₀(g, 1, φ)dg は、Re(s) > (b+1)/2 においてLS(s, σ × χ)が正則であり、s = (b+1)/2 で単純極を持つ場合（b = 0）、絶対収束し、消滅しない。
• 最初の出現LOψ,χ(σ ⊗ χ⁻¹) ≤ dim X であるとき、χおよびアニュリスティック空間Y₀の次元に関する条件下で、周期積分の非消滅が保証される。
• 非退化部分空間Z（dim X − (r − 2)次元）が、ある単位的ベクトルz₀を含む場合、G(Z)内の部分群R₀₁における積分は、すべてのf ∈ σおよびΦ ∈ S((RE/F(Y₀⊗X))+(A))に対して消滅する。これは、最初の出現に制約をもたらす。
• フーリエ係数∫_{[N′]} ∫_{[G(Y)]} θψ,χ1,χ2,W,Y(n(β)g, h, Φ)f(h)ψE,ec(β) dhdn の消滅は、R₀₁における内積分が消えることを意味し、これは最初の出現がより高いウィット指数で発生することを制約する。
• 内積分∫_{[R₀₁]} θX₀,Y(1, h′, φ′)f(h′)dh′ がすべてのφ′およびf ∈ σに対して消える。これは、データがこのような部分群を避けるように選ばない限り、最初の出現がこのレベルで実現されないことを示している。
• 周期積分の構造および収束性は、ウィット指数およびアニュリスティック部の次元によって支配され、臨界ケースはdim Z = dim X − r + 2のときである。