[論文レビュー] On Clustering Incomplete Data

Eduard Eiben, Robert Ganian+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 53被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、欠損値を埋めることでk個のクラスタに分類し、半径もしくは直径がr以下となるようにする、不完全なブール型データのクラスタリングのパrameterized複雑性枠組みを提示する。この問題がk、r、および欠損値をカバーする最小の行と列の数の3つを同時にパrameter化した場合に固定パラメータ可 tractable（FPT）であることを確立し、いずれかのパラメータを省くと不計算困難性に陥ることを示し、不完全データにおけるクラスタリングに関する未解決の問題を解決する。

ABSTRACT

We study fundamental clustering problems for incomplete data. In this setting, we are given a set of incomplete d-dimensional Boolean vectors (representing the rows of a matrix), and the goal is to complete the missing vector entries so that the set of complete vectors admits a partitioning into at most k clusters with radius or diameter at most r. We develop a toolkit and use it to give tight characterizations of the parameterized complexity of these problems with respect to the parameters k, r, and the minimum number of rows and columns needed to cover all the missing entries. We show that the aforementioned problems are fixed-parameter tractable when parameterized by the three parameters combined, and that dropping any of these three parameters results in parameterized intractability. We extend this toolkit to settle the parameterized complexity of other clustering problems, answering an open question along the way. We also show how our results can be extended to data over any constant-size domain. A byproduct of our results is that, for the complete data setting, all problems under consideration are fixed-parameter tractable parameterized by k+r.

研究の動機と目的

• 欠損値を埋めることでd次元のブール型ベクトルの不完全なデータに対するクラスタリングという根本的課題に取り組む。
• 不完全なデータ設定下でのクラスタリング問題のパrameterized複雑性を特徴づける。
• 半径または直径の制約があるクラスタリングの固定パラメータ可 tractable（FPT）を保証する最小のパラメータ組み合わせを特定する。
• ブール型データを超えて任意の定数サイズのドメイン上のデータへと結果を拡張し、ブール型データに限らない応用可能性を広げる。
• 不完全なデータにおけるクラスタリングのパrameterized複雑性に関する未解決の問題を解決する。

提案手法

• クラスタリング問題を不完全なデータ下で分析するための統一的ツールキットを構築し、3つの主要なパラメータに焦点を当てる：k（クラスタ数）、r（半径もしくは直径）、および欠損値をカバーする最小の行と列の数。
• パrameterized複雑性理論を用いて、3つのパラメータを併用した場合に固定パラメータ可 tractable（FPT）であることを証明する。
• ツールキットを用いて半径および直径の制約下でのクラスタリング問題を分析し、タイトな複雑性境界を確立する。
• 3つのパラメータのうちいずれか1つを省くとパラメータ化された不計算困難性に陥ることを示し、組み合わせパラメータ化の最小性を証明する。
• 非ブール型のアルファベットへと完成およびクラスタリング論理を適応させることで、任意の定数サイズのドメイン上のデータへとフレームワークを拡張する。
• 完全なデータの場合、すべての考察対象のクラスタリング問題がk + rでパラメータ化された場合に固定パラメータ可 tractable（FPT）であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k、r、および欠損値をカバーする最小の行と列の組み合わせを同時にパラメータ化した場合、不完全なブール型データのクラスタリングは固定パラメータ可 tractable（FPT）であるか？
• RQ2 3つのパラメータ（k、r、カバレッジ）のうちいずれか1つを組み合わせパラメータ化から省いた場合、パラメータ化された複雑性はどのように変化するか？
• RQ3 提案されたフレームワークは、ブール型ベクトルを超えて任意の定数サイズのドメイン上のデータへと拡張可能か？
• RQ4 データが完全な場合と不完全な場合とで、クラスタリング問題のパラメータ化された複雑性は顕著に変化するか？
• RQ5 最小の行・列カバレッジが、不完全データのクラスタリングの計算可能性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 不完全なブール型データのクラスタリング問題は、k、r、およびすべての欠損値をカバーするために必要な最小の行と列の数を同時にパラメータ化した場合に固定パラメータ可 tractable（FPT）である。
• 3つのパラメータ（k、r、カバレッジ）のうちいずれか1つを省くとパラメータ化された不計算困難性に陥り、組み合わせパラメータ化の最小性が証明される。
• 開発されたツールキットにより、不完全なデータ下でのさまざまなクラスタリング問題のパラメータ化された複雑性をタイトに特徴づけることができる。
• このフレームワークにより、不完全なデータにおけるクラスタリングのパラメータ化された複雑性に関する未解決の問題が解決された。
• 完全なデータ設定下では、考察対象のすべてのクラスタリング問題がk + rでパラメータ化された場合に固定パラメータ可 tractable（FPT）である。
• 結果は、ブール型データを超えて任意の定数サイズのドメイン上のデータへと拡張可能であり、ブール型データに限らない広範な適用可能性を示している。