[論文レビュー] Parameterized Algorithms for the Matrix Completion Problem

Robert Ganian, Iyad Kanj+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2018

graph theory and CDMA systems参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、行列のランク最小化および異なる行の数の最小化という2つの行列補完問題のパrameterized複雑性を研究している。欠損エントリの行・列・組み合わせ的カバーに関する主要パrameterに対して、ドメインが有界であるという仮定の下で、両問題に対して固定パラメータ可 tractable（FPT）なアルゴリズムを提示している。

ABSTRACT

We consider two matrix completion problems, in which we are given a matrix with missing entries and the task is to complete the matrix in a way that (1) minimizes the rank, or (2) minimizes the number of distinct rows. We study the parameterized complexity of the two aforementioned problems with respect to several parameters of interest, including the minimum number of matrix rows, columns, and rows plus columns needed to cover all missing entries. We obtain new algorithmic results showing that, for the bounded domain case, both problems are fixed-parameter tractable with respect to all aforementioned parameters. We complement these results with a lower-bound result for the unbounded domain case that rules out fixed-parameter tractability w.r.t. some of the parameters under consideration.

研究の動機と目的

• 欠損エントリの構造的パラメータに関して、行列補完問題のパrameterized複雑性を調査すること。
• さまざまなパラメータ化の下で、行列ランクの最小化または異なる行の数の最小化が固定パラメータ可 tractable（FPT）であるかどうかを特定すること。
• これらの問題に関して、有界ドメインと無限ドメインの間の複雑性の境界を確立すること。
• 特定の構造的パラメータが小さい場合に、NP困難な行列補完問題に対する効率的なアルゴリズムの可能性を検討すること。
• 2つの基本的な行列補完目的に関するパrameterized複雑性の包括的分類を提供すること。

提案手法

• ガジェット構成を用いて、行列補完問題をグラフ分割および三角形パッキング問題に還元する。
• パrameterized還元および組合せ的構成を用いて、有界ドメインの場合の固定パラメータ可 tractability を証明する。
• 頂点ラベルおよび行ベクトルに関する包括的ケース解析を用いて、構築されたグラフと行列インシデントグラフの同型性を検証する。
• 既知のNP困難性結果（例：三角形への分割、3彩色）を用いて、無限ドメインの場合の下界を確立する。
• 論理的制約を行列補完設定でシミュレートするために、節および変数用の特別なガジェットを導入する。
• 確率的仮定の下でのパrameterized tractability を分析するために、確率的アルゴリズムおよび複雑性クラス（FPT_R、XP_R）を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての欠損エントリをカバーするために必要な行数、列数、またはその合計をパラメータとした場合、ランク最小化問題は固定パラメータ可 tractable（FPT）であるか？
• RQ2 ドメインが有界でパラメータが小さい場合に、行列補完における異なる行の数の最小化問題は効率的に解けるか？
• RQ3 ドメインが無限である場合、特に行、列、またはその組み合わせのパラメータに関して、行列補完のパrameterized複雑性はいかなるものか？
• RQ4 有界ドメイン仮定の下で、確率的パラメータ化アルゴリズムがこれらの問題に対して固定パラメータ可 tractable（FPT）を達成できるか？
• RQ5 行と列の欠損エントリがそれぞれ制限された条件下でも、行列補完のNP困難性は維持されるか？

主な発見

• 有界ドメインの場合、行列ランクの最小化と異なる行の数の最小化という両問題とも、行数、列数、およびその合計に関して固定パラメータ可 tractable（FPT）であることが確立された。
• 本稿では、行数をパラメータとした場合でさえ、異なる行の数の最小化問題（DRMC）がFPTに属することを示した。
• ランク最小化問題（RMC）は、すべての検討されたパラメータに関してXP（およびXP_R）に属することが示されたが、同じ条件下では固定パラメータ可 tractable（FPT）ではないことが判明した。
• DRMCが列数をパラメータとした場合に、para-NP困難であることが証明され、このパラメータ化ではFPTに属するとは考えにくいことが示された。
• 本稿は、2-DRMCが、各行および各列に正確に3つの欠損エントリが含まれる場合でもNP困難であることを示すハードネス結果を提供した。
• 最小次数がn−4である(n/3)-Coloringから2-DRMCへの還元により、欠損エントリの制限がある場合でもNP困難性が確立された。