[論文レビュー] On compact Hermitian manifolds with flat Gauduchon connections

Bo Yang, Fangyang Zheng|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、チェーン接続とビスマール接続の間を補間する1パラメータ族である平坦なs-ゴドゥシュォン接続を許容するコンパクトなヘルミート多様体を調査する。曲率の恒等式と最小ゴドゥシュォン接続（s = 2/3）におけるボッハーナーの公式を用いて、平坦なs-ゴドゥシュォン接続を持つ任意のコンパクトなヘルミート表面は、s = 2を除いては必ずケーラー的であることが示される。高次元では、s ≥ 4 + 2√3 または s ≤ 4 − 2√3（s ≠ 0）のときの平坦性も、計量がケーラー的であることを示唆する。

ABSTRACT

Given a Hermitian manifold $(M^n,g)$, the Gauduchon connections are the one parameter family of Hermitian connections joining the Chern connection and the Bismut connection. We will call $ abla^s = (1-\frac{s}{2}) abla^c + \frac{s}{2} abla^b$ the $s$-Gauduchon connection of $M$, where $ abla^c$ and $ abla^b$ are respectively the Chern and Bismut connections. It is natural to ask when a compact Hermitian manifold could admit a flat $s$-Gauduchon connection. This is related to a question asked by Yau \cite{Yau}. The cases with $s=0$ (a flat Chern connection) or $s=2$ (a flat Bismut connection) are classified respectively by Boothby \cite{Boothby} in the 1950s or by Q. Wang and the authors recently \cite{WYZ}. In this article, we observe that if either $s\geq 4+2\sqrt{3} \approx 7.46$ or $s\leq 4-2\sqrt{3}\approx 0.54$ and $s eq 0$, then $g$ is Kähler. We also show that, when $n=2$, $g$ is always Kähler unless $s=2$. Note that non-Kähler compact Bismut flat surfaces are exactly those isosceles Hopf surfaces by \cite{WYZ}.

研究の動機と目的

• 平坦なs-ゴドゥシュォン接続を許容するコンパクトなヘルミート多様体を分類すること。s-ゴドゥシュォン接続は、チェーン接続とビスマール接続をつなぐ1パラメータ族のヘルミート接続である。
• ヨウが提起したヘルミート幾何におけるホロノミーの縮約に関する予想を解明し、平坦なヘルミート接続が多様体をケーラー的にする条件を特定すること。
• 平坦なチェーン接続（s=0）および平坦なビスマール接続（s=2）の既知の分類を、中間的なs値へと拡張すること。
• 非ケーラー的コンパクトなヘルミート多様体がs ≠ 0,2のとき平坦なs-ゴドゥシュォン接続を許容できるかどうかを調査すること。
• 高次元において非ケーラー的s-ゴドゥシュォン平坦多様体が存在しうるsの鋭い境界を確立すること。

提案手法

• 接続の曲率の恒等式を、ねじれテンソルTとその双対ηを用いて導出し、特に曲率成分の構造を分析する。
• f = log(λ + ε)（λ = |T|²）という関数にボッハーナーの公式を適用し、s-ゴドゥシュォン接続の平坦性下でのねじれテンソルの振る舞いを研究する。
• 恒等式 ∂∂̄f ∧ ω = (曲率項の和) ω² を用いて微分不等式を導出し、s = 2/3のときλ ≡ 0を強制する。これにより計量がケーラー的であることが示される。
• 曲率恒等式における∫|T|²ωⁿの係数を分析し、平坦性がいつT ≡ 0（従って計量がケーラー的）を強制するかを特定する。
• 複素次元2のケースで、一般の曲率恒等式をs=2/3に特化し、ボッハーナーの公式を用いて最小ゴドゥシュォン接続の場合を証明する。
• 複素次元n=2およびs=2/3のケースに一般の曲率恒等式を特化し、ボッハーナーの公式を用いて最小ゴドゥシュォン接続のケースを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦なs-ゴドゥシュォン接続を持つコンパクトなヘルミート多様体が、常にケーラー的であるようなsの値は何か？
• RQ2 非ケーラー的コンパクトなヘルミート多様体がs ≠ 0,2のとき平坦なs-ゴドゥシュォン接続を許容できるか？
• RQ3 次元n ≥ 3において、非ケーラー的s-ゴドゥシュォン平坦多様体が存在しうるsの鋭い境界は何か？
• RQ4 コンパクトなヘルミート表面において、最小ゴドゥシュォン接続（s = 2/3）が平坦であると、計量がケーラー的であることを強制するか？
• RQ5 ねじれとゴドゥシュォンパラメータsを含む曲率恒等式は、s-ゴドゥシュォン平坦多様体の幾何にどのように制約を加えるか？

主な発見

• コンパクトなヘルミート表面（n=2）において、s-ゴドゥシュォン接続が平坦でs ≠ 2であれば、計量は必ずケーラー的であり、したがって有限個の複素トーラスの商である。
• 非ケーラー的コンパクトなヘルミート表面で平坦なs-ゴドゥシュォン接続を持つのは、s = 2のときのみであり、これは二等辺ホフ表面に対応する。
• n ≥ 3の場合、s ≥ 4 + 2√3 ≈ 7.46 または s ≤ 4 − 2√3 ≈ 0.54（s ≠ 0）のとき、s-ゴドゥシュォン接続の平坦性は計量がケーラー的であることを示唆する。
• 区間(4−2√3, 4+2√3)は、高次元において非ケーラー的s-ゴドゥシュォン平坦多様体が存在しうる唯一の範囲である。
• n=3の場合、非ケーラー的例が存在しうる臨界区間は約[0.56, 4.77]であり、これは根bₙ±に基づく。
• 局所的にケーラー的である場合、s-ゴドゥシュォン接続の平坦性はT ≡ 0（従ってケーラー的）を強制するが、唯一bₙ±の2つの値のときのみ非ケーラー解が許容される。