[論文レビュー] On Curvature Tensors of Hermitian Manifolds

Bo Yang, Fangyang Zheng|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ケーラー接続テンソルのすべての対称性条件を満たす、いわゆる G-ケーラー類似またはケーラー類似の計量を有するヘルミート多様体上の曲率テンソルを調査する。Riemann接続とヘルミート接続の曲率テンソルが等しい場合、計量はケーラーでなければならないことを証明し、ヘルミート接続のねじれ（torsion）を用いて曲率差を記述する明示的公式を導出する。これにより、非ケーラー幾何における曲率対称性の変更が明らかになる。

ABSTRACT

In this article, we examine the behavior of the Riemannian and Hermitian curvature tensors of a Hermitian metric, when one of the curvature tensors obeys all the symmetry conditions of the curvature tensor of a Kähler metric. We will call such metrics G-Kähler-like or Kähler-like, for lack of better terminologies. Such metrics are always balanced when the manifold is compact, so in a way they are more special than balanced metrics, which drew a lot of attention in the study of non-Kähler Calabi-Yau manifolds. In particular we derive various formulas on the difference between the Riemannian and Hermitian curvature tensors in terms of the torsion of the Hermitian connection. We believe that these formulas could lead to further applications in the study of Hermitian geometry with curvature assumptions.

研究の動機と目的

• Riemann曲率テンソルとヘルミート曲率テンソルが等しい場合、ヘルミート計量がケーラーであるかどうかを特定すること。
• 曲率テンソルがケーラー曲率テンソルのすべての対称性条件を満たす、G-ケーラー類似またはケーラー類似の計量—すなわち、ヘルミート多様体の曲率テンソルがケーラーの対称性をすべて満たす計量—の幾何的意味を分析すること。
• Riemann曲率テンソルとヘルミート曲率テンソルの差を、ヘルミート接続のねじれ（torsion）の関数として明示的に表現する公式を導出すること。
• 非ケーラー的 Calabi-Yau 幾何におけるこのような曲率条件の役割、特に Strominger システムの文脈において探求すること。

提案手法

• 曲率テンソルの対称性条件を用いて、G-ケーラー類似およびケーラー類似計量の概念を導入する。
• ヘルミート多様体の構造方程式を用い、ヘルミート（Chern）接続のねじれテンソルと曲率成分との関係を確立する。
• 定理 5.1 として、Riemann接続とヘルミート接続の双断面曲率の差をねじれテンソル成分の二次形式として明示的に表現する公式を導出する。
• 複素線形代数およびユニタリフレーム計算を用いて、曲率差をほぼ複素構造の共変微分のノルムと関連付ける。
• 全複素断面曲率の差を分析し、それが非負であり、かつゼロとなるのは計量がケーラーである場合に限ることを示す。
• 第一 Bianchi 恒等式および Gray の定理を用い、G-ケーラー類似条件の下で曲率成分が受ける制約を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Riemann曲率テンソルとヘルミート曲率テンソルが等しい場合、ヘルミート計量はケーラーであると結論づけられるか？
• RQ2 ヘルミート計量の曲率テンソルがケーラー曲率テンソルのすべての対称性条件を満たす場合、どのような幾何的制約が生じるか？
• RQ3 ヘルミート接続のねじれを用いて、Riemann曲率テンソルとヘルミート曲率テンソルの差をどのように定量的に表現できるか？
• RQ4 非ケーラー的ヘリミート多様体において、Riemann接続とヘルミート接続の双断面曲率の関係は何か？
• RQ5 G-ケーラー類似またはケーラー類似計量は、特に Strominger システムの文脈において、コンパクトな非ケーラー的 Calabi-Yau 3-fold において構造的役割を果たす可能性があるか？

主な発見

• Riemann曲率テンソル R とヘルミート曲率テンソル R^h が等しい場合、計量はケーラーである。これは、かつて未解決であった問題に対して肯定的な答えを与える。
• 対称化されたヘルミート双断面曲率とRiemann双断面曲率 B_0 の差は、ねじれテンソルの二次式であり、ねじれの微分には依存しない。
• 全複素断面曲率の差は、R^h_{X\bar{X}X\bar{X}} - R_{X\bar{X}X\bar{X}} = 2∑|T^X_{kX}|² ≥ 0 を満たし、等号が成り立つのはねじれが消える、つまり計量がケーラーである場合に限る。
• Riemann双断面曲率 B_{-1} のトレースは、直交する方向におけるリッチ曲率の和の半分に等しく、すなわち Ric_{-1}(X) = ½(Ric(u) + Ric(Ju)) が実接ベクトル u に対して成り立つ。
• スカラー曲率は ∑B_{-1}(e_i,e_j) = ½Scal を満たし、スカラー曲率が B_{-1} のトレースによって制御されることを示す。
• 任意のユニタリフレームに対して、差 R^h_{X\bar{X}Y\bar{Y}} + R^h_{Y\bar{Y}X\bar{X}} - 2R_{X\bar{Y}Y\bar{X}} は ∑(|T^k_{XY}|² + 2Re(T^Y_{kY} \bar{T}^X_{kX})) に等しく、曲率差がねじれ成分と明示的に関連付けられている。