[論文レビュー] On complexity of cyclic coverings of graphs

Young Soo Kwon, Alexander Mednykh+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2018

Graph theory and applications参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、チェビシェフ多項式を用いて、有限グラフのn重巡回被覆における複雑さτ(n) — すなわち、全域木の数 — を明示的な解析的公式で導出する。また、電圧多項式のマーラー測度を用いて、n→∞におけるτ(n)の漸近的挙動を確立し、生成関数F(x) = ∑τ(n)xⁿが整数係数の有理関数であることを証明する。

ABSTRACT

By complexity of a finite graph we mean the number of spanning trees in the graph. The aim of the present paper is to give a new approach for counting complexity $τ(n)$ of cyclic $n$-fold coverings of a graph. We give an explicit analytic formula for $τ(n)$ in terms of Chebyshev polynomials and find its asymptotic behavior as $n o\infty$ through the Mahler measure of the associated voltage polynomial. We also prove that $F(x)=\sum\limits_{n=1}^\inftyτ(n)x^n$ is a rational function with integer coefficients.

研究の動機と目的

• 有限グラフのn重巡回被覆における全域木の数τ(n)の明示的な解析的公式を導出すること。
• 電圧多項式のマーラー測度を用いて、n→∞におけるτ(n)の漸近的挙動を特定すること。
• 生成関数F(x) = ∑τ(n)xⁿが整数係数の有理関数であることを証明すること。
• 電圧割り当てを通じて、巡回被覆の複雑さをチェビシェフ多項式およびローレン卜多項式と結びつけること。
• サイクル被覆への既知の結果（巡回グラフや一般化されたペテルセングラフなどの族）を一般化すること。

提案手法

• ベースグラフHの辺に電圧割り当てを施し、n重巡回被覆Hₙを構成する。
• 固有値分解を用いて、Hₙのラプラシアン行列を巡回行列とチェビシェフ多項式の形に表現する。
• 電圧ローレンス多項式P(z)にチェビシェフ変換を適用し、Q(w) = ∑cₖTₖ(w)を導出する。ここでTₖはチェビシェフ多項式である。
• 巡回行列の固有値公式と、すべての巡回行列が共通の固有ベクトルを持つという事実を用いて、ラプラシアンを対角化する。
• τ(Hₙ) = (1/n) ∏_{j=0}^{n-1} λ_j(Hₙ)という恒等式を活用し、τ(n)を単位根におけるQ(w)の値で表現する。
• 再帰の特性多項式から導かれる線形再帰を満たすことを示すことにより、F(x) = ∑τ(n)xⁿが整数係数の有理関数であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフのn重巡回被覆における全域木の数は、どのように閉形式で表現できるか？
• RQ2 n→∞におけるτ(n)の漸近的成長率は何か？ また、電圧多項式のマーラー測度とどのように関係しているか？
• RQ3 生成関数F(x) = ∑τ(n)xⁿが整数係数の有理関数であるための条件は何か？
• RQ4 チェビシェフ多項式は、どのように巡回被覆のスペクトル解析において自然に現れるか？
• RQ5 異なるグラフ族において、一様に同じ代数的枠組みを用いて巡回被覆の複雑さを表現できるか？

主な発見

• n重巡回被覆Hₙにおける全域木の数τ(n)は、τ(n) = (1/n) ∏_{j=0}^{n-1} Q(εⁿʲ)で与えられ、ここでQ(w)は電圧ローレンス多項式のチェビシェフ変換である。
• n→∞において、対数的複雑さはlim_{n→∞} (log τ(n))/n = ∫₀¹ log|P(e²πⁱᵗ)| dtを満たし、これはP(z)のマーラー測度に等しい。
• ハアグラフHₙ(1,2)について、τ(n) ∼ (n/2)(2+√3)ⁿ (n→∞)であり、明示的公式τ(n) = (−1)ⁿ(Tₙ(−2)−1)が成り立つ。
• 生成関数F(x) = ∑τ(n)xⁿは整数係数の有理関数である。例えばハアグラフの場合、F(x) = 3(1+u+u²)/(2(1−u)(2+u)²)（u = −½(x + 1/x)）となる。
• Y(n;1,1,1)グラフについて、nが奇数のときτ(n) = 3^{n−1}n Lₙ⁴、nが偶数のときτ(n) = 25·3^{n−1}n Fₙ⁴であり、ここでLₙとFₙはルカス数およびフィボナッチ数である。
• 三重円グラフで(α,β,γ)=(1,2,3)のとき、τ(n) = (n(−4)^{n+1}/19)(1 − Tₙ(−11/8))であり、F(x) = 2(3+8u+8u²)/((1−u)(11+8u)²)（u = −½(4x + 1/(4x))）となる。