[論文レビュー] On computation with 'probabilities' modulo k

Niel de Beaudrap|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 39被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、任意の半体に確率および量子状態形式を一般化し、k を法とする『確率』に関する計算に焦点を当てた。テンソル積構造およびディラック記法を半体値分布へと拡張し、有限環上の確率的システムの代数的取り扱いを可能にした。主な結果として、モジュラー算術下でのクラーマー積による一貫性のある分解および合成が示された。

ABSTRACT

We propose a framework to study models of computation of indeterministic data, represented by abstract "distributions". In these distributions, probabilities are replaced by "amplitudes" drawn from a fixed semi-ring $S$, of which the non-negative reals, the complex numbers, finite fields $\mathbb F_{p^r}$, and cyclic rings $\mathbb Z_k$ are examples. Varying $S$ yields different models of computation, which we may investigate to better understand the (likely) difference in power between randomised and quantum computation. The "modal quantum states" of Schumacher and Westmoreland [arXiv:1010.2929] are examples of such distributions, for $S$ a finite field. For $S = \mathbb F_2$, Willcock and Sabry [arXiv:1102.3587] show that UNIQUE-SAT is solvable by polynomial-time uniform circuit families consisting of invertible gates. We characterize the decision problems solvable by polynomial uniform circuit families, using either invertible or "unitary" transformations over cyclic rings $S = \mathbb Z_k$, or (in the case that $k$ is a prime power) finite fields $S = \mathbb F_k$. In particular, for $k$ a prime power, these are precisely the problems in the class $\mathsf{Mod}_k\mathsf P$.

研究の動機と目的

• 標準的な確率および量子状態形式を、Z_k を含むモジュラー算術環を含む任意の半体へと拡張すること。
• 半体値設定における独立分布およびテンソル積分解を定義すること。
• Z_k のような有限環上の確率的システムを一貫した代数的枠組みで表現・操作するための枠組みを提供すること。
• 複雑なベクトル表記に依存せずに、読みやすさと抽象化を向上させるために、半体値状態に対するディラック記法を適応すること。
• ビット位置が非連続であっても、テンソル積構成が基底分解および分割された部分系を尊重すること。

提案手法

• 半体 S 上のベクトルとして分布を表現し、基底状態 |x⟩ を二進文字列 x ∈ {0,1}^n に割り当てる。
• 係数ベクトルのクラーマー積を用いてテンソル積を定義し、部分系に分割された状況でも構造を保持する。
• 半体値分布を |ψ⟩ で表し、|x⟩ を標準基底ベクトルとして表す。
• テンソル積をケットの連結により表現し、記号 ⊗ を省略して簡潔に表記する：|α⟩|β⟩ = |α⟩⊗|β⟩。
• 部分系 A と B が独立であることを、因数分解 ψ(x) = α(x_A)β(x_B) でモデル化し、ベクトル形式で ψ = α ⊗ β となるようにする。
• 非連続ビット部分に対しては、置換不変なテンソル積構成を用い、代数的整合性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な確率および量子形式を、Z_k を含む任意の半体で動作させるにはどうすればよいか？
• RQ2 半体値システムにおける独立分布を表すために適切な代数的構造は何か？
• RQ3 部分系のビット位置が非連続である場合、テンソル積分解を一貫して定義・計算するにはどうすればよいか？
• RQ4 半体値状態へのディラック記法の拡張は、曖昧さや構造の損失なしに安全に行えるか？
• RQ5 モジュラー算術設定下でのクラーマー積を用いたテンソル合成にはどのような意味があるか？

主な発見

• 本稿は、半体値分布へのテンソル積構造の一般化に成功し、結合状態を独立部分系に一貫して分解可能にした。
• 部分系が非連続であっても、半体上のテンソル積はクラーマー積構造を保持し、基底ベクトルの置換までに限っては成立する。
• 半体値状態に対するディラック記法の使用により、新たなベクトル表記を導入せずに、簡潔で直感的な表現が可能になった。
• ψ(x) = α(x_A)β(x_B) のとき、ψ = α ⊗ β と因数分解できるため、半体値分布への条件付き独立性の一般化が可能になった。
• Z_k の元として『確率』を扱うことで、モジュラー算術下での計算が可能になり、明確に定義された代数的演算が可能になった。
• 零ベクトルは一貫して 0 と表記され、標準基底状態は |x⟩ として表され、構造的には量子形式と互換性がある（解釈は異なるが）。