[論文レビュー] On Corner Scattering for Operators of Divergence Form and Applications to Inverse Scattering

Fioralba Cakoni, Jingni Xiao|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、発散型作用素に従う2次元散乱問題における非一様性について、その凸コーナーが、コーナーにおける導電率対比が2次に消失するか、またはコーナー開口角がπの無理数倍である限り、任意の入射波を常に散乱することを確立する。複素数幾何光学（CGO）解と伝送固有値解析を用いて、1つの入射波の散乱データから非一様性の台の多角形凸包を一意に特定できることを証明する。

ABSTRACT

We consider the scattering problem governed by the Helmholtz equation with inhomogeneity in both `conductivity' in the divergence form and `potential' in the lower order term. The support of the inhomogeneity is assumed to contain a convex corner. We prove that, due to the presence of such corner under appropriate assumptions on the potential and conductivity in the vicinity of the corner, any incident field scatters. Based on corner scattering analysis we present a uniqueness result on determination of the polygonal convex hull of the support of admissible inhomogeneities, from scattering data corresponding to one single incident wave. These results require only certain regularity around the corner for the coefficients modeling the inhomogeneity, whereas away from the corner they can be quite general. Our main results on scattering and inverse scattering are established for $\mathbb{R}^2$, while some analytic tools are developed in any dimension $n\geq 2$.

研究の動機と目的

• 特定の導電率およびポテンシャル対比を有する非一様媒質における凸コーナーが、常に入射波を散乱することを確立すること。
• 可変係数を有する発散型作用素に拡張されたコーナー散乱理論を構築し、導電率およびポテンシャル対比を含むこと。
• 非一様性の台の多角形凸包が、1つの入射波からの散乱データによって一意に特定されることを示すことで、逆散乱における一意性を証明すること。
• コーナーを伴う状況における伝送固有関数のヘルグロッツ波関数による近似を分析し、固有関数がコーナーを越えて拡張できないことの解明。
• 任意次元n ≥ 2における解析的ツールの開発（2次元に焦点を当てた応用を含む）、および3次元の錐型およびエッジ散乱の基盤を築くこと。

提案手法

• 発散型作用素における可変係数およびコーナー幾何に適合した複素数幾何光学（CGO）解の構築。
• 特異性解析および漸近展開を用いて、コーナー頂点付近における解の局所的挙動を分析。
• 伝送固有値問題を用いて、非散乱挙動が固有関数がコーナー外に拡張可能かどうかに依存することを関連付ける。
• ヘルグロッツ波関数近似枠組みを適用し、近似における核の有界性がコーナーにおける固有関数の消滅を意味することを示す。
• 非散乱が所定の条件下でコーナーで発生できないことを証明することで、逆散乱における一意性を確立。
• 微局所解析および楕円型PDE理論の結果を活用し、コーナー付近における特異性の正則性および伝播を分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変導電率およびポテンシャルを有する2次元非一様媒質における凸コーナーが、常に任意の入射波を散乱する条件は何か？
• RQ2 1つの入射波に対応する散乱データから、非一様性の台の多角形凸包を一意に特定できるか？
• RQ3 ヘルグロッツ関数による伝送固有関数の近似と、コーナーにおける非散乱挙動との関係は何か？
• RQ4 導電率対比が2次に消失する場合、コーナー開口角が散乱挙動に与える影響は何か？
• RQ5 特に導電率対比がゼロでない場合に、散乱が発生しない「例外的コーナー」が存在するか？その逆散乱への影響は何か？

主な発見

• 非一様性の台が、頂点における導電率対比が2次に消失する凸コーナーを含む場合、任意の入射波は非一様性外部で非ゼロの散乱場を生成する。
• コーナー開口角がπの無理数倍であれば、ポテンシャル対比が非ゼロであれば、導電率対比がいかなる値であっても、すべての入射波が散乱する。
• 導電率対比がゼロでないか、2次未満に消失するコーナーでは、特定のクラスの入射場を除き、すべての入射波が散乱する。
• 固有関数 $ v $ が、$ L^2 $核が一様に有界なヘルグロッツ関数によって近似可能であるためには、その関数がコーナーで消える必要がある。これは、これらの条件下で非散乱が不可能であることを示唆する。
• ヘルグロッツ関数の集合は、$ abla abla abla $ におけるヘルムホルツ方程式の解の空間において稠密であるが、非散乱波に対応する固有関数に対してはこの稠密性は成立しない。
• 単一入射波からの散乱データを用いた形状同定の一意性がコーナー散乱を介して確立され、非一様性の台の多角形凸包は遠方場データから一意に特定可能である。