[論文レビュー] On decompositions and approximations of conjugate partial-symmetric complex tensors

Taoran Fu, Bo Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2018

Tensor decomposition and applications参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、共役部分対称（CPS）テンソルをランク1のCPSテンソルに構成的かつ分解することを確立し、異なるテンソルランクの非同値性を証明することで、Comonの予想の共役版が誤りであることを示し、ランク1の等価性を保持する行列アンフォールドに基づく凸最適化モデルを構築することで、半定値計画法（SDP）による最良ランク1近似および極値固有値の信頼できる計算が可能になることを示している。

ABSTRACT

Conjugate partial-symmetric (CPS) tensors are the high-order generalization of Hermitian matrices. As the role played by Hermitian matrices in matrix theory and quadratic optimization, CPS tensors have shown growing interest recently in tensor theory and optimization, particularly in many application-driven complex polynomial optimization problems. In this paper, we study CPS tensors with a focus on ranks, rank-one decompositions and approximations, as well as their applications. The analysis is conducted along side with a more general class of complex tensors called partial-symmetric tensors. We prove constructively that any CPS tensor can be decomposed into a sum of rank-one CPS tensors, which provides an alternative definition of CPS tensors via linear combinations of rank-one CPS tensors. Three types of ranks for CPS tensors are defined and shown to be different in general. This leads to the invalidity of the conjugate version of Comon's conjecture. We then study rank-one approximations and matricizations of CPS tensors. By carefully unfolding CPS tensors to Hermitian matrices, rank-one equivalence can be preserved. This enables us to develop new convex optimization models and algorithms to compute best rank-one approximation of CPS tensors. Numerical experiments from various data are performed to justify the capability of our methods.

研究の動機と目的

• CPSテンソルをランク1のCPSテンソルに構成的に分解し、線形結合による代替定義を提供すること。
• CPSテンソルの3つの異なるランクを定義・分析し、それらが一般に異なることを示し、これにより共役版Comonの予想が誤りであることを示すこと。
• 行列アンフォールドに基づく凸最適化モデルを構築し、CPSテンソルのランク1等価性を保持すること。
• 半定値計画法（SDP）緩和を用いてCPSテンソルの最良ランク1近似および極値固有値を計算すること。
• 複素多項式最適化の実験的インスタンスを用いた数値実験を通じて、提案手法を検証し、ランク1解の回復に向けた摂動戦略を導入すること。

提案手法

• 部分対称（PS）テンソルのエルミートおよび反エルミート分解を用いてCPSテンソルの構造を分析する。
• 加法的数論の道具を用いて、任意のCPSテンソルがランク1分解をもつことを構成的に証明する。
• CPSテンソルをエルミート行列にアンフォールドすることでランク1等価性を保持し、凸緩和を可能にする。
• 最良ランク1近似問題に半定値計画法（SDP）緩和を適用し、ランク1解が得られればそれがグローバル最適性を保証する。
• SDPがランク1解を出力しない場合に、テンソルに微小な確率的摂動を加えることで、有効なランク1解の回復確率を高める。
• 元の複素形式が実数でない場合に実数固有値を保証するため、固有ベクトルの位相回転を適用し、$ \boldsymbol{z} = e^{-\mathbf{i} \theta /3} \boldsymbol{x} $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の共役部分対称テンソルは、ランク1の共役部分対称テンソルの和に分解可能か？
• RQ2 CPSテンソルの異なるランクの概念（例：対称ランク、テンソルランク）は、実対称の場合と同様に同値であるか？
• RQ3 凸最適化を用いてCPSテンソルのランク1近似を信頼性高く計算できるか？また、その解がグローバル最適である条件は何か？
• RQ4 CPSテンソルの最良ランク1近似に対するSDP緩和モデルはランク1解を出力するか？そうでない場合、摂動戦略により回復が改善されるか？
• RQ5 提案手法は、計算された固有値が最大のUS固有値であることをどのように証明できるか？特に、従来手法がその保証を持たない場合に有効か？

主な発見

• 任意のCPSテンソルは、ランク1のCPSテンソルの和に分解可能であり、線形結合に基づく構成的代替定義を提供する。
• CPSテンソルの3つの異なるランクが一般に異なることが示され、共役版Comonの予想が誤りであることが裏付けられる。
• CPSテンソルの行列アンフォールドはランク1等価性を保持し、最良ランク1近似に向けた凸最適化の適用を可能にする。
• SDP緩和モデルは、CPSテンソルの最良ランク1近似および最大US固有値を的確に計算でき、ランク1解がグローバル最適性を保証する。
• 数値実験では、$ \|\mathcal{E}\| = 10^{-4} $ の摂動を加えることで、元の問題が失敗した場合でもランク1解が得られる確率が著しく向上する。
• 例5.2において、最大US固有値 $ 3.1623 $ およびそれに対応する4つのUS固有ベクトルが正常に回復され、先行研究の結果を確認・証明した。