[論文レビュー] On Deformation Quantizations of Hypertoric varieties

Gwyn Bellamy, Toshiro Kuwabara|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、微分作用素の代わりにW代数を用いて、ハイパートニック多様体に対するベイリンソン＝バーチン型局在定理を確立する。特に対象のキャラクターがGITチャンバの内部にある場合、量子ハミルトニアン還元の加群の圏と、W代数の層上の良い加群の圏との間の同値性を示し、巡回群の有理Cherednik代数への応用を含む。

ABSTRACT

Based on a construction by Kashiwara and Rouquier, we present an analogue of the Beilinson- Bernstein localization theorem for hypertoric varieties. In this case, sheaves of differential operators are replaced by sheaves of W-algebras. As a special case, our result gives a localization theorem for rational Cherednik algebras associated to cyclic groups.

研究の動機と目的

• ハイパートニック多様体に対して、微分作用素の代わりにW代数を用いて、ベイリンソン＝バーチンの局在定理を拡張すること。
• 量子ハミルトニアン還元の加群の圏と、ハイパートニック多様体上のW代数の層上の良い加群の圏との間の圏的同値性を確立すること。
• 結果を巡回群に付随する有理Cherednik代数に適用し、特にキーンマン特異点の文脈において考察すること。
• ハミルトニアン還元を用いて、ハイパートニック多様体上のW代数のWアフィン性およびグローバル生成性を示すこと。
• 量子ハミルトニアン還元の有限グローバル次元が、パrameter空間（壁を除く）に制限なしに局在同値性が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 再帰的群作用によるシンプレクティックベクトル空間上のハミルトニアン還元を用いた、Kashiwara-Rouquierによるシンプレクティック多様体上のW代数の構成を利用する。
• トーラス作用によるハイパートニック多様体（シンプレクティックベクトル空間上のトーラス作用のハミルトニアン還元）に対して、Wアフィン性の基準を適用する。
• トーラス作用のための量子ハミルトニアン還元の理論を用い、MussonとVan den Berghによるこれらの代数の構造に関する結果に依拠する。
• 周囲空間からの引き戻しにより、ハイパートニック多様体上のW代数の層を定義し、シンプレクティック構造と整合性を保つ。
• 局在関手 $\mathsf{Loc}(M) = \mathscr{A}_{\chi} \otimes_{\mathsf{U}_{\chi}} M$ 及びその擬似逆関手 $\mathsf{Sec}(\mathscr{M}) = \mathrm{Hom}_{\mathscr{A}_{\chi}}(\mathscr{A}_{\chi}, \mathscr{M})$ を用いて、圏的同値性を確立する。
• GITチャンバの内部にある $\chi$ に対して $\mathsf{U}_{\chi}$ の有限グローバル次元に関する結果を適用し、同値性の妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 W代数を微分作用素の代わりに用いた場合、ハイパートニック多様体に対してベイリンソン＝バーチン風の局在定理を定式化できるか？
• RQ2 局在関手 $\mathsf{Loc}$ が、$\mathsf{U}_{\chi}$-加群の圏と、$\mathscr{A}_{\chi}$-加群の良い圏との間で同値を与える条件は何か？
• RQ3 ハイパートニック多様体上のW代数の理論は、巡回群に付随する有理Cherednik代数とどのように関係するか？
• RQ4 GITチャンバ構造とG.I.T.壁の回避が、グローバルセクション関手の有限性および半単純性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 $\mathsf{U}_{\chi}$ の有限グローバル次元が、パrameterシフトを要件としないで局在同値性の妥当性を示すにはどの程度まで有効か？

主な発見

• $\chi$ がGITチャンバの内部にあるとき、$\chi \in C_{\mathbb{Q}}$ に対して、局在関手 $\mathsf{Loc}$ は圏の同値 $\mathsf{U}_{\chi}\text{-mod} \xrightarrow{\sim} \underline{\mathrm{Mod}}^\mathrm{good}_F(\mathscr{A}_{\chi})$ を与え、その逆関手は $\mathsf{Sec}$ である。
• 任意の $\chi \in C_{\mathbb{Q}}$ に対して、$\theta \in C \cap \mathbb{X}(T)$ が存在し、$\mathsf{Loc}$ が同値 $\mathsf{U}_{\chi + \theta}\text{-mod} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Mod}^\mathrm{good}_F(\mathscr{A}_{\chi + \theta})$ を誘導する。
• $\mathsf{U}_{\chi}$ が有限グローバル次元を持つならば、$\mathsf{Loc}$ は同値 $\mathsf{U}_{\chi}\text{-mod} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Mod}^\mathrm{good}_F(\mathscr{A}_{\chi})$ を誘導する。
• 最小解体 $\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_m}$ に対して、局在定理は有理Cherednik代数 $H_{\mathbf{h}}$ に適用可能であり、$\mathbf{h} \notin \mathcal{C}$ のとき、同値 $H_{\mathbf{h}}\text{-mod} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Mod}^\mathrm{good}_F(\mathscr{A}_{\mathbf{h}})$ を与える。
• 球面的部分代数 $eH_{\mathbf{h}}e$ は、$\mathfrak{gl}_m(\mathbb{C})$ におけるサブ正則退化元に対応する有限$\mathcal{W}$-代数と同型であり、局在結果はこの文脈で既知の同値性を回復する。
• 同値は関手 $\mathsf{Loc}(e \cdot -)$ および $eH_{\mathbf{h}}e \otimes_{eH_{\mathbf{h}}e} \mathsf{Sec}(-)$ を通じて実現され、$\mathcal{W}$-代数およびCherednik代数に関する既存の結果と整合することが確認される。