[論文レビュー] On Difference-of-SOS and Difference-of-Convex-SOS Decompositions for Polynomials

Yi-Shuai Niu, Thi, Hoai An Le+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多変数多項式に対する差の平方和（D-SOS）および差の凸的平方和（DC-SOS）分解を導入し、非凸多項式最適化問題をDCプログラミングに再定式化可能にする。提案手法により、半定値計画法（SDP）または直接的な代数的アルゴリズムを用いて効率的な解法が可能となり、ポートフォリオ最適化、行列補完、ブールプログラミングへの応用が可能である。

ABSTRACT

In this article, we are interested in developing polynomial decomposition techniques based on sums-of-squares (SOS), namely the difference-of-sums-of-squares (D-SOS) and the difference-of-convex-sums-of-squares (DC-SOS). In particular, the DC-SOS decomposition is very useful for difference-of-convex (DC) programming formulation of polynomial optimization problems. First, we introduce the cone of convex-sums-of-squares (CSOS) polynomials and discuss its relationship to the sums-of-squares (SOS) polynomials, the non-negative polynomials and the SOS-convex polynomials. Then, we propose the set of D-SOS and DC-SOS polynomials, and prove that any polynomial can be formulated as D-SOS and DC-SOS. The problem of finding D-SOS and DC-SOS decompositions can be formulated as a semi-definite program and solved for any desired precision in polynomial time using interior point methods. Some algebraic properties of CSOS, D-SOS and DC-SOS are established. Second, we focus on establishing several practical algorithms for exact D-SOS and DC-SOS polynomial decompositions without solving any SDP. The numerical performance of the proposed D-SOS and DC-SOS decomposition algorithms and their parallel versions, tested on a dataset of 1750 randomly generated polynomials, is reported.

研究の動機と目的

• 任意の実数値多変数多項式を差の平方和（D-SOS）または差の凸的平方和（DC-SOS）として表現する代数的分解技術の開発。
• D-SOSおよびDC-SOS多項式の集合が、すべての実多項式の空間と等価なベクトル空間を形成することの確立。
• 最小次数成分を持つD-SOSおよびDC-SOS分解を構築するための実用的でSDPに依存しないアルゴリズムの提供。
• 多項式最適化問題をDCプログラミングフレームワークに再定式化し、数値的解法の効率化を実現。
• これらの分解が、モーメントポートフォリオ最適化、固有値補完問題、ブール多項式プログラムなどの実世界の応用において有効であることを示すこと。

提案手法

• D-SOSおよびDC-SOS多項式の集合がベクトル空間を形成し、すべての実多項式の空間と等価であることを証明する。
• D-SOSおよびDC-SOS分解の探索が、任意の精度で多項式時間内に解ける半定値計画問題（SDP）と同等であることを示す。
• SDPを解かずにD-SOSおよびDC-SOS分解を構築可能な実用的でSDPに依存しないアルゴリズム（MD-DCSOSおよびFMD-DCSOS）を提案する。
• スペクトル分解技術を用いて支配されないD-SOS分解を生成し、DCアルゴリズムにおける収束性を向上させる。
• べき乗積行列を用いて偶数次同次多項式のCSOS基底を構築し、平方数の数が指数的成長を示さないDC-SOS表現を効率的に実現する。
• DCAおよびラッセルレのSDP緩和法とDC-SOS分解を統合し、多項式最適化における局所最適解の品質を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の実数値多変数多項式は、差の平方和（D-SOS）多項式に分解可能か？ また、その分解は一意的か、構造的制約があるか？
• RQ2 半定値計画法（SDP）を解かずにD-SOSおよびDC-SOS分解を構築可能か？ そのような代数的手法の計算的利点は何か？
• RQ3 SOS、PSD、凸的SOS、SOS-凸、D-SOS、DC-SOS多項式の集合の関係は何か？ これらは多項式最適化とどのように関係するか？
• RQ4 支配されないDC-SOS分解を体系的に生成可能か？ そのような分解は、多項式最適化におけるDCAの収束性にどのように影響するか？
• RQ5 偶数次の同次多項式に対して、平方数の数が指数的成長を示さないCSOS基底を構築可能か？ これにより、効率的なDC-SOS表現が可能になるか？

主な発見

• D-SOSおよびDC-SOS多項式の集合はベクトル空間を形成し、すべての実多項式の空間と等価である。
• D-SOSおよびDC-SOS分解問題は、任意の精度で多項式時間内に解ける半定値計画問題（SDP）と同等である。
• 最小次数成分を持つD-SOSおよびDC-SOS分解を構築可能な実用的でSDPに依存しないアルゴリズム（MD-DCSOSおよびFMD-DCSOS）が開発された。
• スパースおよび密集型、大規模および小規模な合成多項式1750件に対する数値実験により、提案された分解アルゴリズムおよびその並列化変種の効率性とスケーラビリティが確認された。
• スペクトル的D-SOS分解により、支配されないD-SOS分解が得られ、DCAベースのソルバーにおける収束性に有益であることが示された。
• べき乗積行列を用いたCSOS基底の構築法が提案され、平方数の数が指数的成長を示さない可能性を示し、偶数次同次多項式に対する効率的なDC-SOS表現が可能となった。