[論文レビュー] On endomorphism rings of local cohomology

Michael Hellus, Juergen Stueckrad|ArXiv.org|Mar 6, 2007

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、noetherian局所完備環 $ R $ および $ H^l_I(R) = 0 $ がすべての $ l \neq h $ に対して成り立つとき、局所コホモロジー加群 $ H^h_I(R) $ の自己準同型環 $ \operatorname{End}_R(H^h_I(R)) $ が $ R $ に同型であることを確立する。これにより、自然な写像 $ R \to \operatorname{End}_R(H^h_I(R)) $ が同型となる。この結果は、このような加群のMatlis双対へと拡張され、双対加群上での正則列を用いて、理想が集合論的完全交差であるための新しい基準が得られる。

ABSTRACT

Let R be a local complete ring. For an R-module M the canonical ring map R o End_R(M) is in general neither injective nor surjective; we show that it is bijective for every local cohomology module M := H^h_I(R) if H^l_I(R) = 0 for every l eq h(:= height(I)) (I an ideal of R); furthermore the same holds for the Matlis dual of such a module. As an application we prove new criteria for an ideal to be a set-theoretic complete intersection.

研究の動機と目的

• 局所コホモロジー加群 $ M = H^h_I(R) $ に対して、自然写像 $ R \to \operatorname{End}_R(M) $ が同型となる条件を同定すること。
• このような局所コホモロジー加群のMatlis双対に対しても、この同型性の結果を拡張すること。
• 自己準同型環に関する構造的結果を応用し、理想が集合論的完全交差であるための新しい基準を導出すること。
• Matlis双対加群 $ D(H^h_I(R)) $ における正則列と自然写像 $ j_{\underline{x},I} $ に関連する同値条件を確立すること。

提案手法

• $ E $ を残渣体の内挿型とすると、Matlis双対ファンクター $ D(M) = \operatorname{Hom}_R(M, E) $ を用いる。
• Khashyarmaneshの一般化された結果を活用し、$ H^l_I(R) = 0 $（$ l \neq h $）の下で $ D(H^h_I(D(H^h_I(R)))) \cong R $ を示す。
• 剰余類の包含関係とスペクトル系列を用いて、$ \operatorname{Hom}_R(H, D^2(H)) \to \operatorname{End}_R(H) $ が同型であることを確立する。
• 自然同型 $ \gamma_H: \operatorname{Hom}_R(H, D^2(H)) \to D(H^h_I(D(H))) $ と $ D(H^h_I(D(H))) \cong R $ を用い、$ \operatorname{End}_R(H) \cong R $ を導出する。
• $ J_{\underline{x},I} = \{ r \in R \mid \forall l \, \exists s \text{ が存在して } r I^s \subseteq \underline{x}^l R \} $ を定義し、写像 $ j_{\underline{x},I}: J_{\underline{x},I} \to \Gamma_I(R/\underline{x}R) $ と関連付ける。
• $ \sqrt{I} = \sqrt{\underline{x}R} $、$ \underline{x} $ が $ D $-正則であること、$ \iota_{D,\underline{x}} $ の単射性、$ j_{\underline{x},I} $ の全射性、および $ J_{\underline{x},I} = R $ が同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ R $ および $ I $ に対して、自然写像 $ R \to \operatorname{End}_R(H^h_I(R)) $ が同型となる条件は何か？
• RQ2 局所コホモロジー加群 $ H^h_I(R) $ のMatlis双対に対して、その自己準同型環が $ R $ に同型となる条件は何か？
• RQ3 正則列 $ \underline{x} \subseteq I $ に対して、$ \sqrt{I} = \sqrt{\underline{x}R} $ が成り立つための条件は何か？
• RQ4 写像 $ j_{\underline{x},I}: J_{\underline{x},I} \to \Gamma_I(R/\underline{x}R) $ の全射性は、理想 $ I $ が集合論的完全交差であることにどのように関係するか？
• RQ5 $ J_{\underline{x},I} $ が全環 $ R $ に等しくなるのはいつか？

主な発見

• すべての $ l \neq h $ に対して $ H^l_I(R) = 0 $ が成り立ち、$ R $ がnoetherian局所完備環である限り、自然写像 $ \mu_H: R \to \operatorname{End}_R(H^h_I(R)) $ は $ R $-代数として同型である。
• 同じ消滅条件のもとで、Matlis双対 $ D(H^h_I(R)) $ に対しても、$ \mu_D: R \to \operatorname{End}_R(D(H^h_I(R))) $ が同型である。
• 理想 $ I $ が集合論的完全交差であることは、$ D = D(H^h_I(R)) $ に対して、$ \underline{x} $ が $ D $-正則であることと同値である。
• $ \iota_{D,\underline{x}}: D/\underline{x}D \to H^h_{\underline{x}R}(D) $ が単射であることは、$ \sqrt{I} = \sqrt{\underline{x}R} $ であることと同値である。
• $ j_{\underline{x},I}: J_{\underline{x},I} \to \Gamma_I(R/\underline{x}R) $ が全射であることは、$ \sqrt{I} = \sqrt{\underline{x}R} $ であることと同値である。
• $ J_{\underline{x},I} = R $ であることは、$ \sqrt{I} = \sqrt{\underline{x}R} $ であることと同値であり、これは $ I $ が集合論的完全交差であることと同値である。