[論文レビュー] On estimating the entropy of shallow circuit outputs

Alexandru Gheorghiu, Matty J. Hoban|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 74被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、浅い古典的および量子回路におけるエントロピー推定の計算的困難性を調査し、対数的または定数の深さでさえも、標準的な複雑性仮定のもとでエントロピー推定が困難であることを示している。学習誤差問題（LWE）から定数深さの古典的エントロピー差分問題（ED$_{O(1)}$）への還元を確立し、浅い回路におけるエントロピー推定が効率的に行えるならばLWEの仮定された困難性が破られる可能性があることを示しており、AdS/CFT双対性を通じた量子重力への影響も検討している。

ABSTRACT

Estimating the entropy of probability distributions and quantum states is a fundamental task in information processing. Here, we examine the hardness of this task for the case of probability distributions or quantum states produced by shallow circuits. Specifically, we show that entropy estimation for distributions or states produced by either log-depth circuits or constant-depth circuits with gates of bounded fan-in and unbounded fan-out is at least as hard as the Learning with Errors (LWE) problem, and thus believed to be intractable even for efficient quantum computation. This illustrates that quantum circuits do not need to be complex to render the computation of entropy a difficult task. We also give complexity-theoretic evidence that this problem for log-depth circuits is not as hard as its counterpart with general polynomial-size circuits, seemingly occupying an intermediate hardness regime. Finally, we discuss potential future applications of our work for quantum gravity research by relating our results to the complexity of the bulk-to-boundary dictionary of AdS/CFT.

研究の動機と目的

• 浅い古典的および量子回路、特に対数的または定数の深さの回路におけるエントロピー推定の計算複雑性を分析すること。
• 標準的な複雑性理論的仮定のもとで、浅い回路がエントロピー推定を容易にするのか、それとも依然として困難なままであるのかを特定すること。
• エントロピー推定、学習誤差問題（LWE）およびAdS/CFT対応を通じた量子重力との関係を探索すること。
• ホログラフィー双対性を用いて、LWEのような古典的に困難な問題を量子シミュレーションによって解く可能性を評価すること。

提案手法

• 学習誤差問題（LWE）から定数深さの古典的エントロピー差分問題（ED$_{O(1)}$）への還元を実施し、ED$_{O(1)}$を効率的に解けるならばLWEの困難性が破られる可能性があることを示した。
• 量子回路に基づくエントロピー差分問題（QED）およびその浅いバージョン（QED$_{\textrm{log}}$, QED$_{O(1)}$）を構築し、それらの複雑性を全多項式サイズ回路と比較した。
• QEDのハミルトニアン版（HQED）を導入し、QEDからHQEDへの還元を提供した。これにより、HQEDは回路ベースのQED問題ほど簡単ではないことが示された。
• AdS/CFT双対性を用いて、ボリュームの観測者がホライズン面積を測定して2つのCFT状態を区別する thought experiment を提案した。この実験を、双対CFTハミルトニアンによる時間発展演算を用いて量子コンピュータでシミュレートした。
• SWAPテストを用いて最終状態と初期状態を比較し、関数が1対1か2対1かの結果に基づいて判断した。
• このような量子実験がLWEを効率的に解けるならば、AdS/CFTのボリュームから境界への写像は指数的複雑性を有する必要があると仮説を立てた。そうでなければ、LWEの仮定された困難性が破られることになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数的または定数の深さの浅い古典的回路からの出力のエントロピー推定は、一般の多項式サイズ回路よりも計算的に容易になるのか？
• RQ2 学習誤差問題（LWE）の困難性は、定数深さの古典的エントロピー差分問題（ED$_{O(1)}$）に還元可能か？
• RQ3 計算複雑性の観点から、量子エントロピー差分問題（QED）とその浅いバージョン（QED$_{\textrm{log}}$, QED$_{O(1)}$）との関係は何か？
• RQ4 AdS/CFT双対性を用いて、ボリューム幾何と境界の量子シミュレーションを活用して、LWE問題を効率的に解く量子実験を構築できるか？
• RQ5 このような量子実験がLWEを解けるならば、ホログラフィックなボリュームから境界への写像は指数的複雑性を有する必要があるか？

主な発見

• この論文は、学習誤差問題（LWE）から定数深さの古典的エントロピー差分問題（ED$_{O(1)}$）への還元を証明し、浅い回路におけるエントロピー推定が効率的に行えるならばLWEの困難性が破られる可能性があることを示した。
• QEDからQED$_{\textrm{log}}$へのある種の還元が存在するならば、任意の多項式時間量子計算が対数的深さで実行可能であることが示唆され、浅い回路がエントロピー推定を単純化しないことを示した。
• QEDのハミルトニアン版（HQED）を導入し、QEDからHQEDへの還元を提供した。これにより、HQEDは回路ベースのQED問題ほど簡単ではないことが示された。
• AdS/CFT双対性を用いたthought experimentを構築した。ここでボリュームの観測者がホライズン面積を測定して2つの量子状態を区別し、この実験を量子コンピュータでシミュレートすることでLWEを効率的に解けると提案した。
• 著者らは、このような実験がLWEを解けるならば、AdS/CFTのボリュームから境界への写像は指数的複雑性を有する必要があると仮説を立てた。そうでなければ、LWEの仮定された困難性が破られることになる。
• 結果として、特にLWEと関連づけられた場合、定数または対数的深さの量子系におけるエントロピー比推定が、標準的な複雑性仮定のもとで依然として困難であることが示唆された。