[論文レビュー] Quantum algorithm for estimating Renyi entropies of quantum states

Sathyawageeswar Subramanian, Min-Hsiu Hsieh|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、1つのクリーン・キュービット（$\mathsf{DQC1}$）モデルと量子特異値変換を用いて、未知の量子状態の$\alpha$-Rényiエントロピーを推定する量子アルゴリズムを提示する。期待されるクエリ複雑度は$\mathcal{O}(1/(x\epsilon)^2)$で、加法的精度$\epsilon$を達成する。ここで$x = \frac{1}{d}\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)$である。これは、状態トモグラフィーの$\Theta(d^2/\epsilon^2)$のサンプル複雑度と比較して顕著な改善をもたらす。

ABSTRACT

We describe a quantum algorithm to estimate the $α$-Renyi entropy of an unknown density matrix $ρ\in\mathcal{C}^{d imes d}$ for $α eq 1$ by combining the recent technique of quantum singular value transformations with the method of estimating normalised traces in the one clean qubit model. We consider an oracular input model where the input state is prepared via a quantum oracle that outputs a purified version of the state, assumed to be non-singular. Our method outputs an estimate of the $α$-Renyi entropy to additive precision $ε$, using an expected total number $O\left(\frac{1}{(xε)^2} ight)$ of independent applications of a quantum circuit which coherently queries the input unitary $O\left(\frac{1}δ\log \frac{d}ε ight)$ times, in each case measuring a single output qubit. Here $δ$ is a lower cutoff on the smallest eigenvalue of $ρ$ and $x=\frac{1}{d}\!\mathop{Tr}{ρ^α}$. The expected number of measurements made in this method can be compared to results in the sample complexity model that generally require $Θ(d^2/ε^2)$ samples. Furthermore, we also show that multiplicative approximations can be obtained by iteratively using additive approximations, with an overhead logarithmic in the dimension $d$.

研究の動機と目的

• 未知の量子状態の$\alpha$-Rényiエントロピーを効率的に推定する量子アルゴリズムを開発すること、特に$\alpha \neq 1$の場合に焦点を当てる。
• 完全な量子状態トモグラフィーに比べてサンプル複雑度を低減すること。完全なトモグラフィーは状態の$\Theta(d^2/\epsilon^2)$コピーを必要とする。
• ユニタリオラクルを介して密度行列の純化されたバージョンへのオラクル的アクセスを活用し、完全な状態再構築なしに推定を可能とすること。
• 対数的オーバーヘッドを伴う反復的使用により、加法的推定器を用いて乗法的近似を実現すること。次元$d$に関して対数的依存性を確保する。
• 浅い回路と多数の測定を用いることで、近位の量子デバイスに適した、アンプリチュード推定に基づく手法の実用的代替手段を提供すること。

提案手法

• ブロック符号化技術を用いて、密度行列$\rho$に量子特異値変換を適用し、$\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)$の効率的計算を可能にする。
• 1つのクリーン・キュービット（$\mathsf{DQC1}$）モデルとトレース推定を組み合わせ、$\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)$を推定する。この値は、$S_\alpha(\rho) = \frac{1}{1-\alpha}\log\left[\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)\right]$を介して$\alpha$-Rényiエントロピーに変換される。
• 密度行列の純化されたバージョンを準備するユニタリオラクルへのアクセスを仮定する。最小固有値に下限$\delta$が存在することで、非特異性が保証される。
• 加法的精度$\epsilon$は、$\mathcal{O}(1/(x\epsilon)^2)$回の独立した量子回路の適用によって達成される。各実行では、入力ユニタリを$\mathcal{O}(1/\delta \log(d/\epsilon))$回コherentにクエリする。
• 乗法的近似のためには、加法的推定器を反復的に適用する。最大で$\mathcal{O}(\log(d/\delta))$回の反復が行われ、実行時間はターゲットエントロピーに従って対数的依存性を示す。
• アンプリチュード推定で一般的に見られる深い量子回路を回避するため、NISQ時代のデバイスに適した浅い回路と高頻度の測定を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純化された量子状態へのオラクル的アクセスを用いて、トモグラフィーを下回るサンプル複雑度で$\alpha$-Rényiエントロピーを推定できるか？
• RQ2 このアルゴリズムのクエリ複雑度は、完全な量子状態トモグラフィーやアンプリチュード推定法と比較してどの程度か？
• RQ3 $\mathsf{DQC1}$フレームワーク内で、反復的加法的推定器を用いて乗法的近似を効率的に得られるか？
• RQ4 この手法における回路の深さと測定回数のトレードオフは何か？また、変動的またはアンプリチュード推定法と比較してどうか？
• RQ5 エントロピー推定は$\mathsf{DQC1}$複雑度クラスに属するか、それとも$\epsilon$の逆数に依存するスケーリングのために厳密に難しいか？

主な発見

• アルゴリズムは、期待される$\mathcal{O}(1/(x\epsilon)^2)$回の量子回路適用で、加法的精度$\epsilon$で$\alpha$-Rényiエントロピーを推定する。ここで$x = \frac{1}{d}\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)$である。
• 1回の回路あたりのクエリ複雑度は$\mathcal{O}(1/\delta \log(d/\epsilon))$であり、$\delta$は$\rho$の最小固有値の下限で、数値的安定性を保証する。
• 特に高次元の状況において顕著な改善を示し、状態トモグラフィーの$\Theta(d^2/\epsilon^2)$のサンプル数と比較して顕著な優位性を示す。
• 乗法的近似は、加法的推定器を反復的に使用することで得られ、最大で$\mathcal{O}(\log(d/\delta))$回の反復が行われ、実行時間はターゲットエントロピーの逆数の二乗に依存する。
• 浅い回路と多数の測定を用いるため、近位の量子デバイスに適した設計となっており、深すぎるアンプリチュード推定回路の代替手段として実用的である。
• 期待される測定回数は$\mathcal{O}(1/(x\epsilon)^2)$に比例する。$x$に依存する項において$d$に依存しないため、$x$が小さすぎない場合には効率的である。