[論文レビュー] On fractional powers of the Bessel operator on a semiaxis

С. М. Ситник, Elina Shishkina|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ルジャンドル関数およびメリン変換を用いた積分表現を用いて、半直線上におけるベッセル微分作用素の分数階乗を導入し、解析する。リウヴィルおよびサイゴの分数階積分と関連づけ、半群性質を証明し、明示的なカーネル表現を導出することで、分数階ベッセル作用素を含む微分方程式を解くための新しい枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this paper we study fractional powers of the Bessel differential operator defined on a semiaxis. Some important properties of such fractional powers of the Bessel differential operator are proved. They include connections with Legendre functions for kernel representations, fractional integral operators of Liouville and Saigo, Mellin transform and index laws. Possible applications are indicated to differential equations with fractional powers of the Bessel differential operator.

研究の動機と目的

• 正の実数直線上における特異的ベッセル微分作用素の分数階乗に対する厳密な枠組みを構築すること。
• 分数階ベッセル作用素とリウヴィルおよびサイゴのような既知の分数階積分作用素との間の関係を確立すること。
• 三パラメータ超幾何関数を二パラメータ形式に簡略化するため、ルジャンドル関数を用いた明示的なカーネル表現を導出すること。
• 特定のパラメータ領域において、半群法則や左逆作用素の性質といった基本的性質を証明すること。
• 分数階ベッセル作用素を含む微分方程式を解くための基盤を提供すること。

提案手法

• ベッセルの次数 ν および分数階数 α に依存するパラメータを持つガウス超幾何関数を用いた積分表現により、分数階ベッセル積分作用素を導出する。
• 超幾何関数と関連ルジャンドル関数との関係を用いた変換により、カーネルを第一種ルジャンドル関数の形に再表現する。
• メリン変換を用いて作用素の振る舞いを分析し、その変換対を導出する。
• ν = 0 のとき、既知の超幾何恒等式を用いてカーネルを簡略化することで、リウヴィル分数階積分と等価であることを示す。
• 変数変換 y² = t を用いることで、作用素をサイゴ積分作用素と関連づけ、サイゴの公式における対応するパラメータを特定する。
• 合成則および積分恒等式を用いて、分数階ベッセル作用素の半群性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半直線上におけるベッセル作用素の分数階乗は、特殊関数を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 分数階ベッセル作用素と古典的分数階積分作用素（リウヴィルおよびサイゴ）との関係は何か？
• RQ3 分数階ベッセル作用素が元のベッセル作用素の左逆作用素として作用するのはどのような条件下か？
• RQ4 分数階ベッセル積分作用素のメリン変換は何か？
• RQ5 分数階ベッセル作用素は合成に関して半群性質を満たすか？

主な発見

• ν = 0 のとき、分数階ベッセル積分作用素がリウヴィル分数階積分に縮退することが示され、古典的分数階微積分と整合性があることが確認された。
• 分数階ベッセル作用素のカーネルが関連ルジャンドル関数を用いて明示的に書き直され、三パラメータ超幾何関数が二パラメータ形式に簡略化された。
• 変数変換を用いることで、作用素がサイゴ分数階積分の特別な場合として特定され、一般化された分数階微積分と直接的な関係が確立された。
• 分数階ベッセル作用素に対して半群性質が証明され、適切な条件下で (B_{ν,-}^{-α} ∘ B_{ν,-}^{-β})f = B_{ν,-}^{-(α+β)}f が成り立つことが示された。
• 分数階ベッセル積分作用素のメリン変換が導出され、調和解析および積分方程式におけるさらなる解析が可能になった。
• ν > 0 かつ α = 1 のとき、関数空間内で g および g' が無限遠で消える条件の下で、作用素 B_{ν,-}^{-1} がベッセル作用素 B_ν の左逆作用素として機能することが確認され、その可逆性が裏付けられた。