[論文レビュー] On function spaces and polynomial-time computability.

Akitoshi Kawamura, Arno Pauly|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、関数評価の多項式時間計算可能性を保証する連続実数値関数の空間の自然な表現を導入し、型2有効位相を多項式時間計算複雑性へと拡張する。表現 Œ!ı� が点関数評価を多項式時間で計算可能にする最小のものであることが確立され、実関数の複雑性理論的分析の基盤を提供する。

ABSTRACT

In Computable Analysis, elements of uncountable spaces, such as the real line R, are represented by functions on strings and fed to Turing machines as oracles; or equivalently, they are represented by infinite strings and written on the tapes of Turing machines [Wei00, BHW08]. To obtain reasonable notions of computability and complexity, it is hence important to choose the “right ” representation (encoding) for the spaces being considered. Let’s say we have already agreed upon representations and ı of spaces X and Y (that are admissible with the topologies of X and Y). How would we represent the space CŒX!Y � of continuous functions from X to Y? It is known that there is a natural representation Œ! ı� of CŒX! Y � which is characterized by the property that it is the poorest representation that makes function evaluation computable [Wei00, Lemma 3.3.14]. Is there a representation with a similar property also at the level of polynomial-time computability (as introduced in [KF82] and extended in [KC96, KC12])? In this note we observe that there is such a nice representation for the space of continuous real-valued functions. Generalization to other spaces is left for future research. 1. TYPE-TWO POLYNOMIAL-TIME COMPUTABILITY We consider computational problems as multi-valued functions from the set X of possible inputs to the set Y of possible outputs. An.X; Y /-problem F is formally a subset of X Y. The set of x 2 X such that there is y 2 Y with.x; y / 2 F is called the domain of definition or the promise of F and denoted dom F. For x 2 dom F, we write FŒx � for the (nonempty) set of all such y. If FŒx � is a singleton, we write F.x / for the unique element of FŒx�. When this is the case for all x 2 dom F, we say that F is a single-valued problem, or a partial function. When dom F D X, we say that F is total. A single-valued total problem is called a function. The intuitive interpretation is that F specifies a problem where, given any x 2 dom F, you are required to output some element of FŒx�. Thus, the specification becomes stricter as dom F gets bigger or as FŒx � (for some x 2 dom F) gets smaller. For a.Y; Z/-problem F and an.X; Y /-problem G, we define the.X; Z/-problem F ı G by saying that its promise is (1) dom.F ı G / D f x 2 dom G W GŒx � dom F g; and that, for any x in this promise, (2).F ı G/Œx � D [ y2GŒx�

研究の動機と目的

• 連続実数値関数の空間に適した表現を特定し、多項式時間計算可能性を支援すること。
• 特に C[R → R] における関数空間へ型2多項式時間計算可能性を拡張すること。
• 関数評価を多項式時間で計算可能にする最小の表現を特徴づけること。
• 計算可能解析における連続関数の複雑性理論的分析の基盤を築くこと。

提案手法

• 型2有効位相の枠組みを採用し、実数および関数を無限列としてオラクルチューリングマシンを用いて表現する。
• X および Y を位相空間とし、それぞれの適応的表現が ı および ı であるとき、連続関数の空間 C[X → Y] に対する表現 Œ!ı� を定義する。
• 表現 Œ!ı� は、点関数評価を多項式時間で計算可能にする最小のものとして構築される。
• 既知の連続関数の表現の特徴づけ（Wei00, Lemma 3.3.14）を、多項式時間設定へと適応する。
• X = R および Y = R の場合に、C[R → R] に対して所望の複雑性特性を有する自然な表現が存在することを示す。
• 他の空間への一般化は、今後の研究のための未解決課題として残されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C[R → R] の空間に対する表現が、関数評価の多項式時間計算可能性を保証するものか？
• RQ2 関数評価を多項式時間で計算可能にする最小の表現は何か？
• RQ3 計算可能解析における関数空間表現の特徴づけを、多項式時間設定へと拡張できるか？
• RQ4 表現の選択が、連続関数空間における関数評価の複雑性にどのように影響するか？

主な発見

• 連続実数値関数の空間に、関数評価の多項式時間計算可能性を保証する自然な表現 Œ!ı� が存在する。
• この表現は、点関数評価を多項式時間で計算可能にする最小のもの（粗い表現）であるという意味で最小である。
• 既知の計算可能解析からの特徴づけを、実数値関数の多項式時間設定へ一般化する。
• この結果は、実計算における連続関数の複雑性理論的分析の基盤となる表現を提供する。
• 他の位相空間への一般化は未解決であり、今後の研究の方向性を示唆している。